📝 题目
19．计算底面是半径为 $R$ 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积（图6－24）。
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们取底面圆的圆心为坐标原点，固定直径为 $x$ 轴方向，则底面圆方程为 $$ x^2 + y^2 = R^2. $$ 垂直于 $x$ 轴（即垂直于固定直径）的截面是一个等边三角形，该截面与底面圆的交线是一条平行于 $y$ 轴的线段，其长度为 $$ 2\sqrt{R^2 - x^2}. $$ 由于截面是等边三角形，且该线段为三角形的一条边，因此三角形的高为 $$ h(x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \text{边长} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2\sqrt{R^2 - x^2} = \sqrt{3}\,\sqrt{R^2 - x^2}. $$ 于是截面面积 $$ A(x) = \frac{1}{2} \cdot \text{底边长} \cdot \text{高} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{R^2 - x^2} \cdot \sqrt{3}\,\sqrt{R^2 - x^2} = \sqrt{3}\,(R^2 - x^2). $$ 立体体积通过对 $x$ 从 $-R$ 到 $R$ 积分得到： $$ V = \displaystyle{\int_{-R}^{R}} A(x)\,dx = \displaystyle{\int_{-R}^{R}} \sqrt{3}\,(R^2 - x^2)\,dx. $$ 由于被积函数是偶函数，可写为 $$ V = 2\sqrt{3} \displaystyle{\int_{0}^{R}} (R^2 - x^2)\,dx. $$ 计算积分： $$ \displaystyle{\int_{0}^{R}} (R^2 - x^2)\,dx = \left[ R^2 x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{R} = R^3 - \frac{R^3}{3} = \frac{2}{3}R^3. $$ 因此 $$ V = 2\sqrt{3} \cdot \frac{2}{3}R^3 = \frac{4\sqrt{3}}{3}R^3. $$
难度：★★☆☆☆