📝 题目
20．证明：由平面图形 $0 \leqslant a \leqslant x \leqslant b, 0 \leqslant y \leqslant f(x)$ 绕 $y$ 轴旋转所成的旋转体的体积为
$$ V=2 \pi \displaystyle{\int}_{a}^{b} x f(x) \mathrm{d} x $$
💡 答案与解析
[AI解答]
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**证明** 考虑平面图形 $0 \leqslant a \leqslant x \leqslant b,\ 0 \leqslant y \leqslant f(x)$ 绕 $y$ 轴旋转。 我们采用**柱壳法**（shell method）来推导体积公式。
在区间 $[a,b]$ 上任取一小区间 $[x, x+\mathrm{d}x]$，该小区间对应的竖直窄条高度为 $f(x)$，宽度为 $\mathrm{d}x$。 当这一窄条绕 $y$ 轴旋转时，形成一个薄圆柱壳，其半径为 $x$，高度为 $f(x)$，厚度为 $\mathrm{d}x$。 该圆柱壳的体积近似为：
$$ \mathrm{d}V = 2\pi x \cdot f(x) \cdot \mathrm{d}x $$
其中 $2\pi x$ 是半径为 $x$ 的圆的周长。
将所有这样的薄壳体积从 $x=a$ 到 $x=b$ 累加，即得旋转体的体积：
$$ V = \displaystyle{\int}_{a}^{b} 2\pi x f(x) \, \mathrm{d}x = 2\pi \displaystyle{\int}_{a}^{b} x f(x) \, \mathrm{d}x $$
证毕。
**难度评级**：★★☆☆☆ （属于基本旋转体体积公式推导，理解柱壳法即可完成，计算简单，但需掌握积分应用思想。）