📝 题目
21．利用题 20 的结论和方法，计算曲线 $y=\sin x(0 \leqslant x \leqslant \pi)$ 和 $x$ 轴所围成的图形按下列方式所得旋转体的体积： （1）绕 $y$ 轴旋转； （2）绕直线 $x=-\pi$ 旋转．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**题20结论回顾**： 设平面图形由曲线 $y=f(x)$（$a \le x \le b$）及 $x$ 轴围成，若用“柱壳法”求绕 $y$ 轴旋转的体积，公式为 $$ V = 2\pi \int_a^b x f(x)\,dx. $$ 若绕直线 $x = c$ 旋转，则柱壳半径为 $|x-c|$，体积为 $$ V = 2\pi \int_a^b |x-c| f(x)\,dx. $$
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### (1) 绕 $y$ 轴旋转
曲线为 $y = \sin x$，区间 $0 \le x \le \pi$，与 $x$ 轴围成图形。 由柱壳法，绕 $y$ 轴旋转体积为 $$ V_1 = 2\pi \int_0^\pi x \sin x \, dx. $$ 计算积分： $$ \int x \sin x \, dx = -x \cos x + \sin x + C. $$ 代入上下限： $$ \int_0^\pi x \sin x \, dx = \left[ -x \cos x + \sin x \right]_0^\pi = (-\pi \cos \pi + \sin \pi) - (0 + 0) = (-\pi \cdot (-1) + 0) = \pi. $$ 因此 $$ V_1 = 2\pi \cdot \pi = 2\pi^2. $$
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### (2) 绕直线 $x = -\pi$ 旋转
此时旋转半径是 $|x - (-\pi)| = |x + \pi|$。 在区间 $[0, \pi]$ 上 $x+\pi > 0$，所以绝对值可直接去掉： $$ V_2 = 2\pi \int_0^\pi (x + \pi) \sin x \, dx. $$ 拆分为两项： $$ V_2 = 2\pi \left( \int_0^\pi x \sin x \, dx + \pi \int_0^\pi \sin x \, dx \right). $$ 第一项已求得为 $\pi$，第二项： $$ \int_0^\pi \sin x \, dx = [-\cos x]_0^\pi = (-\cos\pi) - (-\cos 0) = (1) - (-1) = 2. $$ 于是 $$ V_2 = 2\pi \left( \pi + \pi \cdot 2 \right) = 2\pi \cdot 3\pi = 6\pi^2. $$
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**最终答案**： (1) $\displaystyle V = 2\pi^2$ (2) $\displaystyle V = 6\pi^2$
难度：★★☆☆☆