📝 题目
22．设由抛物线 $y=2 x^{2}$ 和直线 $x=a, x=2$ 及 $y=0$ 所围成的平面图形为 $D_{1}$ ，由抛物线 $y=2 x^{2}$ 和直线 $x=a$ 及 $y=0$ 所围成的平面图形为 $D_{2}$ ，其中 $0\lt a\lt 2$（图6－25）． （1）试求 $D_{1}$ 绕 $x$ 轴旋转而成的旋转体体积 $V_{1}, D_{2}$ 绕 $y$ 轴旋转而成的旋转体体积 $V_{2}$ ； （2）问当 $a$ 为何值时，$V_{1}+V_{2}$ 取得最大值？试求此最大值．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**（1）求 $V_1$ 与 $V_2$**
- 对于 $D_1$：由 $y=2x^2$，$x=a$，$x=2$ 及 $y=0$ 围成，绕 $x$ 轴旋转。 旋转体体积公式（圆盘法）： $$ V_1 = \displaystyle{\int_{a}^{2} \pi (2x^2)^2 \, dx} = \pi \displaystyle{\int_{a}^{2} 4x^4 \, dx} = 4\pi \displaystyle{\int_{a}^{2} x^4 \, dx} $$ 计算积分： $$ \displaystyle{\int_{a}^{2} x^4 \, dx} = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{a}^{2} = \frac{2^5}{5} - \frac{a^5}{5} = \frac{32 - a^5}{5} $$ 因此： $$ V_1 = 4\pi \cdot \frac{32 - a^5}{5} = \frac{4\pi(32 - a^5)}{5} $$
- 对于 $D_2$：由 $y=2x^2$，$x=a$ 及 $y=0$ 围成，绕 $y$ 轴旋转。 此时 $x$ 从 $0$ 到 $a$，曲线 $y=2x^2$ 反函数为 $x = \sqrt{\frac{y}{2}}$，$y$ 从 $0$ 到 $2a^2$。 用圆盘法对 $y$ 积分： $$ V_2 = \displaystyle{\int_{0}^{2a^2} \pi \left( \sqrt{\frac{y}{2}} \right)^2 \, dy} = \pi \displaystyle{\int_{0}^{2a^2} \frac{y}{2} \, dy} = \frac{\pi}{2} \displaystyle{\int_{0}^{2a^2} y \, dy} $$ 计算： $$ \displaystyle{\int_{0}^{2a^2} y \, dy} = \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{2a^2} = \frac{(2a^2)^2}{2} = \frac{4a^4}{2} = 2a^4 $$ 因此： $$ V_2 = \frac{\pi}{2} \cdot 2a^4 = \pi a^4 $$
所以： $$ V_1 = \frac{4\pi(32 - a^5)}{5}, \quad V_2 = \pi a^4 $$
**（2）求 $a$ 使 $V_1+V_2$ 最大**
令： $$ S(a) = V_1 + V_2 = \frac{4\pi(32 - a^5)}{5} + \pi a^4 = \frac{128\pi}{5} - \frac{4\pi}{5}a^5 + \pi a^4 $$
对 $a$ 求导： $$ S'(a) = -\frac{4\pi}{5} \cdot 5a^4 + \pi \cdot 4a^3 = -4\pi a^4 + 4\pi a^3 = 4\pi a^3(1 - a) $$
令 $S'(a)=0$，在 $(0,2)$ 内得 $a=1$（$a=0$ 不在区间内，$a=0$ 时边界情况不考虑）。
判断极值： 当 $0 最大值： $$ S(1) = \frac{128\pi}{5} - \frac{4\pi}{5} \cdot 1^5 + \pi \cdot 1^4 = \frac{128\pi}{5} - \frac{4\pi}{5} + \pi = \frac{124\pi}{5} + \pi = \frac{124\pi + 5\pi}{5} = \frac{129\pi}{5} $$ 因此： $$ \boxed{a=1,\quad \max(V_1+V_2)=\frac{129\pi}{5}} $$ 难度：★★☆☆☆