📝 题目
23．计算曲线 $y=\ln x$ 上相应于 $\sqrt{3} \leqslant x \leqslant 2 \sqrt{2}$ 的一段弧的长度．
💡 答案与解析
[AI解答]
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要计算曲线 $y = \ln x$ 上从 $x = \sqrt{3}$ 到 $x = 2\sqrt{2}$ 的弧长，使用弧长公式： $$ s = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} \, dx. $$
**第一步：求导数** $$ y = \ln x \quad \Rightarrow \quad \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}. $$
**第二步：代入弧长公式** $$ s = \int_{\sqrt{3}}^{2\sqrt{2}} \sqrt{1 + \left( \frac{1}{x} \right)^2} \, dx = \int_{\sqrt{3}}^{2\sqrt{2}} \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} \, dx = \int_{\sqrt{3}}^{2\sqrt{2}} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x} \, dx. $$
**第三步：换元积分** 令 $x = \tan t$，则 $dx = \sec^2 t \, dt$，且当 $x = \sqrt{3}$ 时，$t = \frac{\pi}{3}$；当 $x = 2\sqrt{2}$ 时，$t = \arctan(2\sqrt{2})$，但这里我们保留不定积分先计算。
更简便的方法是使用公式： $$ \int \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x} \, dx = \sqrt{x^2 + 1} - \ln\left| \frac{1 + \sqrt{x^2 + 1}}{x} \right| + C. $$ （该结果可通过分部积分或三角换元得到，此处直接引用。）
**第四步：代入上下限** $$ s = \left[ \sqrt{x^2 + 1} - \ln\left( \frac{1 + \sqrt{x^2 + 1}}{x} \right) \right]_{\sqrt{3}}^{2\sqrt{2}}. $$
先计算上限 $x = 2\sqrt{2}$： $$ \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + 1} = \sqrt{8 + 1} = 3, $$ $$ \frac{1 + 3}{2\sqrt{2}} = \frac{4}{2\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}. $$ 所以上限部分为： $$ 3 - \ln(\sqrt{2}). $$
再计算下限 $x = \sqrt{3}$： $$ \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1} = \sqrt{3 + 1} = 2, $$ $$ \frac{1 + 2}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}. $$ 所以下限部分为： $$ 2 - \ln(\sqrt{3}). $$
**第五步：相减得弧长** $$ s = \left(3 - \ln\sqrt{2}\right) - \left(2 - \ln\sqrt{3}\right) = 1 - \ln\sqrt{2} + \ln\sqrt{3} = 1 + \ln\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 1 + \ln\sqrt{\frac{3}{2}} = 1 + \frac{1}{2} \ln\frac{3}{2}. $$
因此，所求弧长为： $$ \boxed{1 + \dfrac{1}{2}\ln\dfrac{3}{2}}. $$
难度：★★☆☆☆