📝 题目
24．计算半立方抛物线 $y^{2}=\frac{2}{3}(x-1)^{3}$ 被抛物线 $y^{2}=\frac{x}{3}$ 截得的一段弧的长度．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求半立方抛物线 $$ y^{2}=\frac{2}{3}(x-1)^{3} $$ 被抛物线 $$ y^{2}=\frac{x}{3} $$ 所截得的一段弧的长度。
**第一步：求交点坐标** 由两个方程相等： $$ \frac{2}{3}(x-1)^{3} = \frac{x}{3} $$ 两边乘以3： $$ 2(x-1)^{3} = x $$ 展开： $$ 2(x^{3} - 3x^{2} + 3x -1) = x $$ 即 $$ 2x^{3} - 6x^{2} + 6x - 2 = x $$ $$ 2x^{3} - 6x^{2} + 5x - 2 = 0 $$ 试根 $x=2$： $2\cdot 8 - 6\cdot 4 + 5\cdot 2 - 2 = 16 - 24 + 10 - 2 = 0$，成立。 因式分解得： $$ (x-2)(2x^{2} - 2x + 1)=0 $$ 二次判别式 $(-2)^2 - 4\cdot 2 \cdot 1 = 4 - 8 = -4 < 0$，无实根。 所以唯一交点为 $x=2$，代入 $y^{2} = \frac{2}{3}(2-1)^{3} = \frac{2}{3}$，得 $$ y = \pm \sqrt{\frac{2}{3}} $$ 因此两曲线交于两点： $$ \left(2, \sqrt{\frac{2}{3}}\right),\quad \left(2, -\sqrt{\frac{2}{3}}\right) $$
**第二步：确定弧段范围** 半立方抛物线 $y^{2} = \frac{2}{3}(x-1)^{3}$ 定义域要求 $(x-1)^{3} \ge 0$，即 $x \ge 1$。 抛物线 $y^{2} = \frac{x}{3}$ 定义域 $x \ge 0$。 两曲线从 $x=1$ 开始相交于 $x=2$，且图形关于 $x$ 轴对称。 因此所求弧段是从 $x=1$ 到 $x=2$ 的上半支（或下半支）再对称加倍。
**第三步：弧长公式** 对曲线 $y = f(x)$，弧长 $$ L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}} \, dx $$ 取上半支： $$ y = \sqrt{\frac{2}{3}} (x-1)^{3/2}, \quad x \ge 1 $$ 求导： $$ \frac{dy}{dx} = \sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3}{2} (x-1)^{1/2} = \sqrt{\frac{3}{2}} (x-1)^{1/2} $$ 平方： $$ \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} = \frac{3}{2}(x-1) $$ 于是 $$ 1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} = 1 + \frac{3}{2}(x-1) = \frac{3x - 1}{2} $$ 因此上半支从 $x=1$ 到 $x=2$ 的弧长为 $$ L_{\text{上}} = \int_{1}^{2} \sqrt{\frac{3x-1}{2}} \, dx = \frac{1}{\sqrt{2}} \int_{1}^{2} \sqrt{3x-1} \, dx $$
**第四步：计算积分** 令 $u = 3x-1$，则 $du = 3 dx$，当 $x=1$ 时 $u=2$，$x=2$ 时 $u=5$： $$ L_{\text{上}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \int_{2}^{5} \sqrt{u} \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3\sqrt{2}} \int_{2}^{5} u^{1/2} \, du $$ $$ = \frac{1}{3\sqrt{2}} \cdot \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_{2}^{5} = \frac{2}{9\sqrt{2}} \left( 5^{3/2} - 2^{3/2} \right) $$ 而 $5^{3/2} = 5\sqrt{5}$，$2^{3/2} = 2\sqrt{2}$，所以 $$ L_{\text{上}} = \frac{2}{9\sqrt{2}} \left( 5\sqrt{5} - 2\sqrt{2} \right) = \frac{2}{9\sqrt{2}} \cdot 5\sqrt{5} - \frac{2}{9\sqrt{2}} \cdot 2\sqrt{2} $$ $$ = \frac{10\sqrt{5}}{9\sqrt{2}} - \frac{4}{9} = \frac{5\sqrt{10}}{9} - \frac{4}{9} $$ 即 $$ L_{\text{上}} = \frac{5\sqrt{10} - 4}{9} $$
**第五步：总弧长** 由于上下对称，总弧长 $$ L = 2 L_{\text{上}} = \frac{2(5\sqrt{10} - 4)}{9} $$
最终结果为： $$ \boxed{\dfrac{2(5\sqrt{10} - 4)}{9}} $$
难度：★★☆☆☆