📝 题目
28．在摆线 $x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t)$ 上求分摆线第一拱成 $1: 3$ 的点的坐标．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 摆线第一拱对应参数 $ t \in [0, 2\pi] $。 弧长微元为 $$ ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt. $$ 计算导数： $$ \frac{dx}{dt} = a(1 - \cos t), \quad \frac{dy}{dt} = a \sin t. $$ 于是 $$ ds = \sqrt{a^2(1 - \cos t)^2 + a^2 \sin^2 t} \, dt = a \sqrt{1 - 2\cos t + \cos^2 t + \sin^2 t} \, dt = a \sqrt{2 - 2\cos t} \, dt = a \sqrt{4 \sin^2\frac{t}{2}} \, dt = 2a \left|\sin\frac{t}{2}\right| dt. $$ 在第一拱 $ t \in [0, 2\pi] $ 上，$\sin\frac{t}{2} \ge 0$，所以 $$ ds = 2a \sin\frac{t}{2} \, dt. $$
第一拱总弧长 $$ L = \int_{0}^{2\pi} 2a \sin\frac{t}{2} \, dt = 2a \left[ -2\cos\frac{t}{2} \right]_{0}^{2\pi} = 2a \left( -2\cos\pi + 2\cos 0 \right) = 2a ( -2(-1) + 2 ) = 2a (2+2) = 8a. $$
要将第一拱分成 $1:3$，即从起点到分点的弧长占全长的 $\frac{1}{4}$ 或 $\frac{3}{4}$。 设分点对应参数 $t_0$，则 $$ \int_{0}^{t_0} 2a \sin\frac{t}{2} \, dt = \frac{1}{4} \cdot 8a = 2a. $$ 计算左边积分： $$ \int_{0}^{t_0} 2a \sin\frac{t}{2} \, dt = 2a \left[ -2\cos\frac{t}{2} \right]_{0}^{t_0} = 4a \left(1 - \cos\frac{t_0}{2}\right). $$ 令其等于 $2a$，得 $$ 4a \left(1 - \cos\frac{t_0}{2}\right) = 2a \implies 1 - \cos\frac{t_0}{2} = \frac12 \implies \cos\frac{t_0}{2} = \frac12. $$ 在第一拱范围内 $t_0 \in [0, 2\pi]$，所以 $\frac{t_0}{2} \in [0, \pi]$，解得 $$ \frac{t_0}{2} = \frac{\pi}{3} \quad \Rightarrow \quad t_0 = \frac{2\pi}{3}. $$
此时对应的坐标： $$ x = a\left( \frac{2\pi}{3} - \sin\frac{2\pi}{3} \right) = a\left( \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \right), $$ $$ y = a\left(1 - \cos\frac{2\pi}{3}\right) = a\left(1 - \left(-\frac12\right)\right) = a \cdot \frac32 = \frac{3a}{2}. $$
若取另一段比例为 $1:3$（即分点处弧长为 $\frac{3}{4}L$），则 $$ 4a\left(1 - \cos\frac{t_0}{2}\right) = 6a \implies 1 - \cos\frac{t_0}{2} = \frac32 \implies \cos\frac{t_0}{2} = -\frac12, $$ 得 $\frac{t_0}{2} = \frac{2\pi}{3}$，即 $t_0 = \frac{4\pi}{3}$，此时 $$ x = a\left( \frac{4\pi}{3} - \sin\frac{4\pi}{3} \right) = a\left( \frac{4\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} \right), $$ $$ y = a\left(1 - \cos\frac{4\pi}{3}\right) = a\left(1 - \left(-\frac12\right)\right) = \frac{3a}{2}. $$
因此分点坐标为 $$ \boxed{\left( a\left( \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \right), \frac{3a}{2} \right)} \quad\text{或}\quad \boxed{\left( a\left( \frac{4\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} \right), \frac{3a}{2} \right)}. $$
难度：★★☆☆☆