📝 题目
30．求曲线 $\rho \theta=1$ 相应于 $\frac{3}{4} \leqslant \theta \leqslant \frac{4}{3}$ 的一段弧长．
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们要求曲线 $\rho \theta = 1$ 在 $\frac{3}{4} \leqslant \theta \leqslant \frac{4}{3}$ 上的弧长。 极坐标下弧长公式为： $$ s = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sqrt{\rho^2 + \left(\frac{d\rho}{d\theta}\right)^2} \, d\theta. $$
由方程 $\rho \theta = 1$ 得： $$ \rho = \frac{1}{\theta}. $$ 于是： $$ \frac{d\rho}{d\theta} = -\frac{1}{\theta^2}. $$
代入公式： $$ \rho^2 + \left(\frac{d\rho}{d\theta}\right)^2 = \frac{1}{\theta^2} + \frac{1}{\theta^4} = \frac{\theta^2 + 1}{\theta^4}. $$ 因此： $$ \sqrt{\rho^2 + \left(\frac{d\rho}{d\theta}\right)^2} = \frac{\sqrt{\theta^2 + 1}}{\theta^2}. $$
弧长： $$ s = \int_{\frac{3}{4}}^{\frac{4}{3}} \frac{\sqrt{\theta^2 + 1}}{\theta^2} \, d\theta. $$
令 $\theta = \tan t$，则 $d\theta = \sec^2 t \, dt$，且 $\sqrt{\theta^2+1} = \sec t$，积分限对应： $$ \theta = \frac{3}{4} \Rightarrow t = \arctan\frac{3}{4}, \quad \theta = \frac{4}{3} \Rightarrow t = \arctan\frac{4}{3}. $$ 于是： $$ s = \int_{\arctan\frac{3}{4}}^{\arctan\frac{4}{3}} \frac{\sec t}{\tan^2 t} \cdot \sec^2 t \, dt = \int_{\arctan\frac{3}{4}}^{\arctan\frac{4}{3}} \frac{\sec^3 t}{\tan^2 t} \, dt. $$
利用 $\sec^3 t / \tan^2 t = \frac{1}{\cos^3 t} \cdot \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} = \frac{1}{\cos t \sin^2 t}$，即： $$ \frac{\sec^3 t}{\tan^2 t} = \frac{1}{\sin^2 t \cos t}. $$
所以： $$ s = \int_{\arctan\frac{3}{4}}^{\arctan\frac{4}{3}} \frac{1}{\sin^2 t \cos t} \, dt. $$
将 $\frac{1}{\sin^2 t \cos t}$ 化为： $$ \frac{1}{\sin^2 t \cos t} = \frac{\cos t}{\sin^2 t} + \frac{\sin t}{\cos t} \cdot \frac{1}{\sin t}?? $$ 更标准做法： $$ \frac{1}{\sin^2 t \cos t} = \frac{\cos t}{\sin^2 t} + \frac{1}{\cos t}. $$ 验证： $$ \frac{\cos t}{\sin^2 t} + \frac{1}{\cos t} = \frac{\cos^2 t + \sin^2 t}{\sin^2 t \cos t} = \frac{1}{\sin^2 t \cos t}. $$ 正确。
于是： $$ s = \int \frac{\cos t}{\sin^2 t} \, dt + \int \frac{1}{\cos t} \, dt. $$
第一项： $$ \int \frac{\cos t}{\sin^2 t} \, dt = \int \frac{d(\sin t)}{\sin^2 t} = -\frac{1}{\sin t}. $$
第二项： $$ \int \frac{1}{\cos t} \, dt = \int \sec t \, dt = \ln |\sec t + \tan t|. $$
因此： $$ s = \left[ -\frac{1}{\sin t} + \ln |\sec t + \tan t| \right]_{\arctan\frac{3}{4}}^{\arctan\frac{4}{3}}. $$
当 $t = \arctan\frac{3}{4}$ 时： $$ \tan t = \frac{3}{4}, \quad \sin t = \frac{3}{5}, \quad \sec t = \frac{5}{4}. $$ 当 $t = \arctan\frac{4}{3}$ 时： $$ \tan t = \frac{4}{3}, \quad \sin t = \frac{4}{5}, \quad \sec t = \frac{5}{3}. $$
代入： $$ s = \left( -\frac{1}{4/5} + \ln\left(\frac{5}{3} + \frac{4}{3}\right) \right) - \left( -\frac{1}{3/5} + \ln\left(\frac{5}{4} + \frac{3}{4}\right) \right). $$
计算： $$ -\frac{5}{4} + \ln 3 - \left( -\frac{5}{3} + \ln 2 \right) = -\frac{5}{4} + \ln 3 + \frac{5}{3} - \ln 2. $$
合并常数： $$ -\frac{5}{4} + \frac{5}{3} = \frac{-15 + 20}{12} = \frac{5}{12}. $$
所以： $$ s = \frac{5}{12} + \ln\frac{3}{2}. $$
因此所求弧长为： $$ \boxed{\displaystyle \frac{5}{12} + \ln\frac{3}{2}}. $$
难度：★★★☆☆