📝 题目
5．试求 $a, b$ 的值，使得由曲线 $y=\cos x\left(0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}\right)$ 与两坐标轴所围成的图形的面积被曲线 $y=a \sin x$ 与 $y=b \sin x$ 三等分．
💡 答案与解析
[AI解答]
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首先，曲线 $y = \cos x$ 在区间 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 与两坐标轴围成的图形面积为： $$ S = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx = \sin x \Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 1. $$
现在要求用两条曲线 $y = a \sin x$ 与 $y = b \sin x$ 将这块面积三等分，且显然 $0 < a < b < 1$ 才合理，因为 $\sin x$ 在 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 上从0增加到1，而 $\cos x$ 从1降到0。
设第一块（靠近x轴下方）是由 $y = a \sin x$ 与 $y = \cos x$ 围成的部分，第二块介于 $y = a \sin x$ 与 $y = b \sin x$ 之间，第三块介于 $y = b \sin x$ 与x轴之间？这里需要明确：题目说“被曲线 $y = a \sin x$ 与 $y = b \sin x$ 三等分”，通常理解是这两条曲线将原区域分成三部分，每部分面积相等，均为 $\frac{1}{3}$。
由于 $\sin x$ 在 $[0, \frac{\pi}{2}]$ 上非负，且 $\cos x$ 递减，图形从上到下依次是： - 上边界：$y = \cos x$ - 中间曲线1：$y = b \sin x$ - 中间曲线2：$y = a \sin x$ - 下边界：x轴（即 $y=0$）
因此三块面积分别为： 1. 介于 $y = \cos x$ 与 $y = b \sin x$ 之间的部分； 2. 介于 $y = b \sin x$ 与 $y = a \sin x$ 之间的部分； 3. 介于 $y = a \sin x$ 与 x轴之间的部分。
每部分面积为 $\frac{1}{3}$。
先求交点： 曲线 $y = \cos x$ 与 $y = b \sin x$ 的交点满足： $$ \cos x = b \sin x \quad\Rightarrow\quad \cot x = b \quad\Rightarrow\quad x = \arccot b. $$ 同理，$\cos x$ 与 $y = a \sin x$ 的交点： $$ x = \arccot a. $$
第一块面积（从 $x=0$ 到交点 $\arccot b$）： $$ \int_{0}^{\arccot b} (\cos x - b \sin x) \, dx = \left[ \sin x + b \cos x \right]_{0}^{\arccot b}. $$ 计算： 在 $x = \arccot b$ 时，$\sin x = \frac{1}{\sqrt{1+b^2}}$，$\cos x = \frac{b}{\sqrt{1+b^2}}$。 于是： $$ \sin(\arccot b) + b \cos(\arccot b) = \frac{1}{\sqrt{1+b^2}} + b \cdot \frac{b}{\sqrt{1+b^2}} = \frac{1+b^2}{\sqrt{1+b^2}} = \sqrt{1+b^2}. $$ 在 $x=0$ 时，$\sin 0 + b \cos 0 = b$。 所以第一块面积： $$ S_1 = \sqrt{1+b^2} - b = \frac{1}{3}. $$
第三块面积（从 $x=0$ 到 $\arccot a$，但注意这是x轴与 $a\sin x$ 之间的部分）： $$ S_3 = \int_{0}^{\arccot a} a \sin x \, dx = a \left[ -\cos x \right]_{0}^{\arccot a} = a\left(1 - \cos(\arccot a)\right). $$ 而 $\cos(\arccot a) = \frac{a}{\sqrt{1+a^2}}$，所以： $$ S_3 = a\left(1 - \frac{a}{\sqrt{1+a^2}}\right) = a - \frac{a^2}{\sqrt{1+a^2}} = \frac{1}{3}. $$
第二块面积是总面积减去第一、第三块，自动为 $\frac{1}{3}$，所以只需解上面两个方程。
由 $S_1$ 方程： $$ \sqrt{1+b^2} - b = \frac{1}{3}. $$ 移项： $$ \sqrt{1+b^2} = b + \frac{1}{3}. $$ 两边平方： $$ 1 + b^2 = b^2 + \frac{2b}{3} + \frac{1}{9}, $$ 化简得： $$ 1 = \frac{2b}{3} + \frac{1}{9} \quad\Rightarrow\quad \frac{2b}{3} = \frac{8}{9} \quad\Rightarrow\quad b = \frac{4}{3}. $$ 但 $b = \frac{4}{3} > 1$，这不可能，因为 $\sin x \le 1$ 且与 $\cos x$ 在区间内有交点需要 $b \le 1$。说明假设的上下顺序可能反了。
重新思考：若 $a < b$，则 $a\sin x \le b\sin x$，那么靠近x轴的是 $y=a\sin x$，在上方的是 $y=b\sin x$。但 $\cos x$ 在 $x=0$ 处为1，而 $\sin x$ 在0处为0，所以最上面是 $\cos x$，往下依次是 $b\sin x$、$a\sin x$、x轴。这个顺序没错。但解出 $b>1$ 说明第一块面积公式可能取错了积分限。
实际上，第一块面积应是 $\cos x$ 与 $b\sin x$ 从交点到 $\pi/2$？因为靠近y轴左侧，$\cos x$ 大于 $b\sin x$ 直到交点，之后 $b\sin x$ 大于 $\cos x$。但我们的区域只到 $\pi/2$，且交点可能在区间内。如果 $b>1$，则 $\cos x = b\sin x$ 的解 $x = \arccot b$ 会很小，但此时交点之后 $b\sin x > \cos x$，所以第一块面积应该是从0到交点，这没问题。但 $b>1$ 时，交点处 $\sin x$ 与 $\cos x$ 的值合理吗？若 $b=4/3$，则 $\cot x = 4/3$，$\sin x = 3/5$，$\cos x = 4/5$，确实在区间内，但 $b\sin x = (4/3)*(3/5)=4/5=\cos x$，一致。但b>1意味着曲线 $y=b\sin x$ 在 $x=\pi/2$ 处值为b>1，超过了 $\cos(\pi/2)=0$，但这不影响，因为区域只到交点为止，交点之后的部分不属于原区域（因为原区域上界是 $\cos x$，而交点后 $b\sin x$ 在上方，所以区域边界是 $\cos x$ 与x轴，中间被切割的部分应取下方区域）。因此顺序要调整：实际上在交点之后，$\cos x$ 小于 $b\sin x$，所以第一块面积应是 $\cos x$ 与x轴之间被 $b\sin x$ 切出的部分，它由两段组成？更合理的分割是：三条曲线将区域分成三部分，每部分都以x轴或$\cos x$为边界，中间由 $a\sin x$ 和 $b\sin x$ 划分。
正确理解：整个区域由 $y=\cos x$、x轴、y轴围成。用 $y=a\sin x$ 和 $y=b\sin x$ 分割，要求每块面积相等。那么这三块应该是： - 区域I：上边界 $\cos x$，下边界 $b\sin x$，从它们交点到 $\pi/2$（因为交点后 $b\sin x$ 在上方，所以实际区域是$\cos x$在下？这里要小心绘图）。
我们画图：在 $x=0$，$\cos0=1$，$b\sin0=0$，所以$\cos x$在上。随着x增大，$\cos x$下降，$b\sin x$上升，在某点相交。交点到$\pi/2$之间，$b\sin x > \cos x$，所以原区域的上边界仍是$\cos x$，但下边界是x轴，而$b\sin x$穿过这个区域，因此它将区域分成左右两部分？实际上分割线是曲线，不是垂直线。
更清晰的做法：将区域按y方向分割。对于