📝 题目
6．求由下列各曲线所围成的图形的面积： （1）$\rho=2 a \cos \theta$ ； （2）$x=a \cos ^{3} t, y=a \sin ^{3} t$ ； （3）$\rho=2 a(2+\cos \theta)$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**（1）** 曲线 $\rho=2a\cos\theta$ 是圆心在 $(a,0)$、半径为 $a$ 的圆。 极坐标下面积公式为 $$ S = \frac12 \int_{\alpha}^{\beta} \rho^2 \, d\theta $$ 由于 $\rho=2a\cos\theta$ 在 $\theta\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ 上封闭一圈，所以 $$ S = \frac12 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (2a\cos\theta)^2 \, d\theta = \frac12 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 4a^2 \cos^2\theta \, d\theta = 2a^2 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2\theta \, d\theta $$ 利用 $\cos^2\theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$，得 $$ S = 2a^2 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+\cos 2\theta}{2} d\theta = a^2 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (1+\cos 2\theta) d\theta $$ 计算： $$ = a^2 \left[ \theta + \frac12 \sin 2\theta \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = a^2 \left[ \left(\frac{\pi}{2}+0\right) - \left(-\frac{\pi}{2}+0\right) \right] = a^2 \cdot \pi = \pi a^2 $$ 因此面积为 $\pi a^2$。
**（2）** 曲线 $x=a\cos^3 t,\ y=a\sin^3 t$ 是星形线。 利用参数方程面积公式： $$ S = \int_{t_1}^{t_2} y(t) x'(t) \, dt $$ 取 $t$ 从 $0$ 到 $2\pi$，由对称性，先求第一象限面积再乘以4。 第一象限 $t\in[0,\frac{\pi}{2}]$， $$ x'(t) = -3a\cos^2 t \sin t $$ 于是 $$ S_1 = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} a\sin^3 t \cdot (-3a\cos^2 t \sin t) \, dt = -3a^2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 t \cos^2 t \, dt $$ 取绝对值，第一象限面积为 $$ S_1 = 3a^2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 t \cos^2 t \, dt $$ 利用 $\sin^4 t \cos^2 t = \sin^4 t (1-\sin^2 t) = \sin^4 t - \sin^6 t$， 由Wallis公式： $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2n} t \, dt = \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \cdot \frac{\pi}{2} $$ 得 $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 t \, dt = \frac{3!!}{4!!} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3\cdot1}{4\cdot2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{16} $$ $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^6 t \, dt = \frac{5!!}{6!!} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{5\cdot3\cdot1}{6\cdot4\cdot2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{32} $$ 因此 $$ S_1 = 3a^2 \left( \frac{3\pi}{16} - \frac{5\pi}{32} \right) = 3a^2 \cdot \frac{\pi}{32} = \frac{3\pi a^2}{32} $$ 总面积 $$ S = 4 \cdot \frac{3\pi a^2}{32} = \frac{3\pi a^2}{8} $$
**（3）** 曲线 $\rho = 2a(2+\cos\theta)$ 是心脏线的变形（外摆线）。 极坐标面积公式： $$ S = \frac12 \int_{0}^{2\pi} \rho^2 \, d\theta = \frac12 \int_{0}^{2\pi} [2a(2+\cos\theta)]^2 \, d\theta = \frac12 \int_{0}^{2\pi} 4a^2 (2+\cos\theta)^2 \, d\theta = 2a^2 \int_{0}^{2\pi} (4 + 4\cos\theta + \cos^2\theta) \, d\theta $$ 利用 $\cos^2\theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$， $$ S = 2a^2 \int_{0}^{2\pi} \left(4 + 4\cos\theta + \frac{1+\cos 2\theta}{2}\right) d\theta = 2a^2 \int_{0}^{2\pi} \left( \frac{9}{2} + 4\cos\theta + \frac12 \cos 2\theta \right) d\theta $$ 在 $[0,2\pi]$ 上，$\cos\theta$ 和 $\cos 2\theta$ 的积分为0，因此 $$ S = 2a^2 \cdot \frac{9}{2} \cdot 2\pi = 18\pi a^2 $$
**最终答案：** (1) $\pi a^2$ (2) $\displaystyle \frac{3\pi a^2}{8}$ (3) $18\pi a^2$
难度评级：★★★☆☆