📝 题目
8．求对数螺线 $\rho=a \mathrm{e}^{\theta}(-\pi \leqslant \theta \leqslant \pi)$ 及射线 $\theta=\pi$ 所围成的图形的面积．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求的是对数螺线 $\rho = a e^{\theta}$ 在角度范围 $-\pi \leqslant \theta \leqslant \pi$ 内与射线 $\theta = \pi$ 所围成的图形面积。 注意：射线 $\theta = \pi$ 是极轴负方向的一条射线，而曲线从 $\theta = -\pi$ 到 $\theta = \pi$ 刚好绕了一圈，与射线 $\theta = \pi$ 围成的区域就是螺线一圈所扫过的面积。
极坐标下，曲线 $\rho = f(\theta)$ 从 $\theta = \alpha$ 到 $\theta = \beta$ 所围成的面积为 $$ S = \frac12 \int_{\alpha}^{\beta} [f(\theta)]^2 \, d\theta. $$ 这里 $f(\theta) = a e^{\theta}$，且 $\alpha = -\pi$，$\beta = \pi$，于是 $$ S = \frac12 \int_{-\pi}^{\pi} \left(a e^{\theta}\right)^2 d\theta = \frac{a^2}{2} \int_{-\pi}^{\pi} e^{2\theta} \, d\theta. $$
计算积分： $$ \int e^{2\theta} d\theta = \frac{1}{2} e^{2\theta}, $$ 所以 $$ S = \frac{a^2}{2} \cdot \left[ \frac{1}{2} e^{2\theta} \right]_{-\pi}^{\pi} = \frac{a^2}{4} \left( e^{2\pi} - e^{-2\pi} \right). $$
因此所求面积为 $$ \boxed{\dfrac{a^2}{4}\left(e^{2\pi} - e^{-2\pi}\right)}. $$
难度：★★☆☆☆ （只需直接套用极坐标面积公式，积分计算简单，但需注意指数函数的运算。）