📝 题目
2．指出下列各题中的函数是不是所给微分方程的解： （1）$x y^{\prime}=2 y, y=5 x^{2}$ ； （2）$y^{\prime \prime}+y=0, y=3 \sin x-4 \cos x$ ； （3）$y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=0, y=x^{2} \mathrm{e}^{x}$ ； （4）$y^{\prime \prime}-\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}\right) y^{\prime}+\lambda_{1} \lambda_{2} y=0, y=C_{1} \mathrm{e}^{\lambda_{1} x}+C_{2} \mathrm{e}^{\lambda_{2} x}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**（1）** 微分方程：$x y^{\prime}=2 y$，给定函数：$y=5x^{2}$。 先求导：$y^{\prime} = \displaystyle{}\frac{d}{dx}(5x^{2}) = 10x$。 代入左边：$x y^{\prime} = x \cdot 10x = 10x^{2}$。 右边：$2y = 2 \cdot 5x^{2} = 10x^{2}$。 左右相等，所以 $y=5x^{2}$ 是解。
**（2）** 微分方程：$y^{\prime\prime}+y=0$，给定函数：$y=3\sin x - 4\cos x$。 求一阶导：$y^{\prime}=3\cos x + 4\sin x$。 求二阶导：$y^{\prime\prime} = -3\sin x + 4\cos x$。 代入：$y^{\prime\prime}+y = (-3\sin x + 4\cos x) + (3\sin x - 4\cos x) = 0$。 所以是解。
**（3）** 微分方程：$y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+y=0$，给定函数：$y=x^{2}e^{x}$。 求导： $y^{\prime} = 2x e^{x} + x^{2}e^{x} = e^{x}(x^{2}+2x)$。 $y^{\prime\prime} = e^{x}(x^{2}+2x) + e^{x}(2x+2) = e^{x}(x^{2}+4x+2)$。 代入： $y^{\prime\prime}-2y^{\prime}+y = e^{x}(x^{2}+4x+2) - 2e^{x}(x^{2}+2x) + x^{2}e^{x}$ $= e^{x}\big[(x^{2}+4x+2) - (2x^{2}+4x) + x^{2}\big]$ $= e^{x}(x^{2}+4x+2 -2x^{2}-4x + x^{2}) = e^{x}(0) = 0$。 所以是解。
**（4）** 微分方程：$y^{\prime\prime}-(\lambda_{1}+\lambda_{2})y^{\prime}+\lambda_{1}\lambda_{2}y=0$， 给定函数：$y=C_{1}e^{\lambda_{1}x}+C_{2}e^{\lambda_{2}x}$。 求导： $y^{\prime}=C_{1}\lambda_{1}e^{\lambda_{1}x}+C_{2}\lambda_{2}e^{\lambda_{2}x}$。 $y^{\prime\prime}=C_{1}\lambda_{1}^{2}e^{\lambda_{1}x}+C_{2}\lambda_{2}^{2}e^{\lambda_{2}x}$。 代入左边： $y^{\prime\prime}-(\lambda_{1}+\lambda_{2})y^{\prime}+\lambda_{1}\lambda_{2}y$ $= C_{1}\lambda_{1}^{2}e^{\lambda_{1}x}+C_{2}\lambda_{2}^{2}e^{\lambda_{2}x} - (\lambda_{1}+\lambda_{2})(C_{1}\lambda_{1}e^{\lambda_{1}x}+C_{2}\lambda_{2}e^{\lambda_{2}x}) + \lambda_{1}\lambda_{2}(C_{1}e^{\lambda_{1}x}+C_{2}e^{\lambda_{2}x})$。 分别合并 $e^{\lambda_{1}x}$ 与 $e^{\lambda_{2}x}$ 的系数： 对于 $e^{\lambda_{1}x}$：$C_{1}\big[\lambda_{1}^{2} - (\lambda_{1}+\lambda_{2})\lambda_{1} + \lambda_{1}\lambda_{2}\big] = C_{1}(\lambda_{1}^{2} - \lambda_{1}^{2} - \lambda_{1}\lambda_{2} + \lambda_{1}\lambda_{2}) = 0$。 对于 $e^{\lambda_{2}x}$：$C_{2}\big[\lambda_{2}^{2} - (\lambda_{1}+\lambda_{2})\lambda_{2} + \lambda_{1}\lambda_{2}\big] = C_{2}(\lambda_{2}^{2} - \lambda_{1}\lambda_{2} - \lambda_{2}^{2} + \lambda_{1}\lambda_{2}) = 0$。 所以结果为 $0$，是解。
**难度评级**：★☆☆☆☆ （只需代入求导验证，计算简单，无技巧。）