📝 题目
3．在下列各题中，验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解： （1）$(x-2 y) y^{\prime}=2 x-y, x^{2}-x y+y^{2}=C$ ； （2）$(x y-x) y^{\prime \prime}+x y^{\prime 2}+y y^{\prime}-2 y^{\prime}=0, y=\ln (x y)$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**（1）** 给定二元方程 $$ x^{2} - x y + y^{2} = C $$ 两边对 $x$ 求导（注意 $y$ 是 $x$ 的函数）： $$ \frac{d}{dx}(x^{2}) - \frac{d}{dx}(x y) + \frac{d}{dx}(y^{2}) = 0 $$ 即 $$ 2x - (y + x y') + 2y y' = 0 $$ 整理得 $$ 2x - y - x y' + 2y y' = 0 $$ 将含 $y'$ 的项移到一边： $$ - x y' + 2y y' = y - 2x $$ 即 $$ y'(2y - x) = y - 2x $$ 两边同时乘以 $-1$ 得 $$ y'(x - 2y) = 2x - y $$ 这正是所给微分方程，故验证成立。
**（2）** 给定隐函数关系 $$ y = \ln(x y) $$ 即 $$ e^{y} = x y $$ 两边对 $x$ 求导： $$ e^{y} y' = y + x y' $$ 代入 $e^{y} = x y$ 得 $$ x y \cdot y' = y + x y' $$ 整理： $$ x y y' - x y' = y $$ 即 $$ x y'(y - 1) = y $$ 所以 $$ y' = \frac{y}{x(y - 1)} $$ 再对 $x$ 求导： $$ y'' = \frac{d}{dx}\left( \frac{y}{x(y-1)} \right) $$ 使用商法则，记 $u = y$，$v = x(y-1)$，则 $$ u' = y',\quad v' = (y-1) + x y' $$ 于是 $$ y'' = \frac{y' \cdot x(y-1) - y \cdot \left[(y-1) + x y'\right]}{x^{2}(y-1)^{2}} $$ 分子化简： $$ y' x (y-1) - y(y-1) - x y y' $$ 注意 $y' x (y-1) - x y y' = x y' (y-1 - y) = -x y'$ 所以分子为 $$ - x y' - y(y-1) $$ 因此 $$ y'' = \frac{- x y' - y(y-1)}{x^{2}(y-1)^{2}} $$ 现在验证所给微分方程： $$ (xy - x) y'' + x y'^{2} + y y' - 2 y' = 0 $$ 注意 $xy - x = x(y-1)$，代入 $y''$： 第一项： $$ x(y-1) \cdot \frac{- x y' - y(y-1)}{x^{2}(y-1)^{2}} = \frac{- x y' - y(y-1)}{x (y-1)} $$ 第二项：$x y'^{2}$ 第三项：$y y'$ 第四项：$-2 y'$
将第一项拆开： $$ \frac{- x y'}{x(y-1)} + \frac{- y(y-1)}{x(y-1)} = -\frac{y'}{y-1} - \frac{y}{x} $$ 于是总和为： $$ -\frac{y'}{y-1} - \frac{y}{x} + x y'^{2} + y y' - 2 y' = 0 $$ 利用前面求得的 $y' = \frac{y}{x(y-1)}$，代入化简： 先计算 $x y'^{2} = x \cdot \frac{y^{2}}{x^{2}(y-1)^{2}} = \frac{y^{2}}{x (y-1)^{2}}$ 而 $y y' = \frac{y^{2}}{x(y-1)}$ 以及 $- \frac{y'}{y-1} = -\frac{y}{x(y-1)^{2}}$ 还有 $-2y' = -\frac{2y}{x(y-1)}$
将所有项合并，公分母取 $x (y-1)^{2}$： 第一项：$-\frac{y}{x(y-1)^{2}}$ 第二项：$-\frac{y}{x} = -\frac{y(y-1)^{2}}{x (y-1)^{2}}$ 第三项：$\frac{y^{2}}{x (y-1)^{2}}$ 第四项：$\frac{y^{2}}{x(y-1)} = \frac{y^{2}(y-1)}{x (y-1)^{2}}$ 第五项：$-\frac{2y}{x(y-1)} = -\frac{2y(y-1)}{x (y-1)^{2}}$
分子求和： $$ - y - y(y-1)^{2} + y^{2} + y^{2}(y-1) - 2y(y-1) $$ 展开各项： $-y(y-1)^{2} = -y(y^{2} - 2y + 1) = -y^{3} + 2y^{2} - y$ $y^{2}(y-1) = y^{3} - y^{2}$ $-2y(y-1) = -2y^{2} + 2y$
现在合并： 常数项与一次项：$-y$（来自第一项） $+ (-y)$（来自展开） $+ 2y$（来自最后一项） = 0 二次项：$2y^{2} - y^{2} - 2y^{2} = -y^{2}$ 三次项：$-y^{3} + y^{3} = 0$ 再加上第二项的 $-y(y-1)^{2}$ 展开已计入，还有第一项的 $-y$ 已计入，还有第二项原本的 $-y$？注意我们第一项是 $-y$，第二项展开贡献 $-y$，所以总的一次项为 $-2y$，再加上最后的 $+2y$ 得 0。 二次项：从第二项展开得 $+2y^{2}$，第三项 $+ y^{2}$，第四项 $- y^{2}$，第五项 $-2y^{2}$，总和为 $0$。 三次项抵消为0。 因此分子为0，整个表达式为0，验证成立。
**难度评级**：★★★☆☆ （涉及隐函数求导、二阶导计算及较繁琐的代数化简，需要细心，但方法常规。）