📝 题目
1．求下列微分方程的通解： （1）$x y^{\prime}-y \ln y=0$ ； （2） $3 x^{2}+5 x-5 y^{\prime}=0$ ； （3）$\sqrt{1-x^{2}} y^{\prime}=\sqrt{1-y^{2}}$ ； （4）$y^{\prime}-x y^{\prime}=a\left(y^{2}+y^{\prime}\right)$ ； （5） $\sec ^{2} x \tan y \mathrm{~d} x+\sec ^{2} y \tan x \mathrm{~d} y=0$ ； （6）$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=10^{x+y}$ ； （7）$\left(\mathrm{e}^{x+y}-\mathrm{e}^{x}\right) \mathrm{d} x+\left(\mathrm{e}^{x+y}+\mathrm{e}^{y}\right) \mathrm{d} y=0$ ； （8） $\cos x \sin y \mathrm{~d} x+\sin x \cos y \mathrm{~d} y=0$ ； （9）$(y+1)^{2} \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}+x^{3}=0$ ； （10）$y \mathrm{~d} x+\left(x^{2}-4 x\right) \mathrm{d} y=0$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 以下为各小题的详细求解过程，均使用分离变量法求解一阶微分方程。
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### （1） 方程： $$ x y' - y \ln y = 0 $$ 化为 $$ x \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = y \ln y $$ 分离变量： $$ \frac{\mathrm{d}y}{y \ln y} = \frac{\mathrm{d}x}{x} $$ 两边积分： $$ \int \frac{1}{y \ln y} \, \mathrm{d}y = \int \frac{1}{x} \, \mathrm{d}x $$ 令 $u = \ln y$，则 $\mathrm{d}u = \frac{1}{y} \mathrm{d}y$，左边为 $$ \int \frac{1}{u} \, \mathrm{d}u = \ln |u| = \ln |\ln y| $$ 右边为 $\ln |x| + C$，所以 $$ \ln |\ln y| = \ln |x| + C $$ 即 $$ \ln y = C_1 x \quad (C_1 = \pm e^C) $$ 通解： $$ \boxed{y = e^{Cx}} $$
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### （2） 方程： $$ 3x^2 + 5x - 5y' = 0 $$ 即 $$ 5 \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 3x^2 + 5x $$ 分离变量： $$ \mathrm{d}y = \frac{1}{5}(3x^2 + 5x) \, \mathrm{d}x $$ 积分： $$ y = \frac{1}{5} \left( x^3 + \frac{5}{2}x^2 \right) + C $$ 通解： $$ \boxed{y = \frac{x^3}{5} + \frac{x^2}{2} + C} $$
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### （3） 方程： $$ \sqrt{1 - x^2} \, y' = \sqrt{1 - y^2} $$ 即 $$ \frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{1 - y^2}} = \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1 - x^2}} $$ 积分： $$ \arcsin y = \arcsin x + C $$ 通解： $$ \boxed{y = \sin(\arcsin x + C)} $$
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### （4） 方程： $$ y' - x y' = a(y^2 + y') $$ 整理： $$ y'(1 - x - a) = a y^2 $$ 即 $$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{a y^2}{1 - x - a} $$ 分离变量： $$ \frac{\mathrm{d}y}{y^2} = \frac{a}{1 - x - a} \, \mathrm{d}x $$ 积分： $$ -\frac{1}{y} = -a \ln|1 - x - a| + C $$ 即 $$ \frac{1}{y} = a \ln|1 - x - a| + C_1 $$ 通解： $$ \boxed{y = \frac{1}{a \ln|1 - x - a| + C}} $$
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### （5） 方程： $$ \sec^2 x \tan y \, \mathrm{d}x + \sec^2 y \tan x \, \mathrm{d}y = 0 $$ 化为： $$ \frac{\sec^2 x}{\tan x} \, \mathrm{d}x + \frac{\sec^2 y}{\tan y} \, \mathrm{d}y = 0 $$ 注意 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\tan x) = \sec^2 x$，所以 $$ \frac{\mathrm{d}(\tan x)}{\tan x} + \frac{\mathrm{d}(\tan y)}{\tan y} = 0 $$ 积分： $$ \ln|\tan x| + \ln|\tan y| = C $$ 即 $$ \tan x \cdot \tan y = C $$ 通解： $$ \boxed{\tan x \tan y = C} $$
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### （6） 方程： $$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 10^{x+y} = 10^x \cdot 10^y $$ 分离变量： $$ 10^{-y} \, \mathrm{d}y = 10^x \, \mathrm{d}x $$ 积分： $$ -\frac{10^{-y}}{\ln 10} = \frac{10^x}{\ln 10} + C $$ 两边乘以 $-\ln 10$： $$ 10^{-y} = -10^x + C_1 $$ 通解： $$ \boxed{10^{-y} + 10^x = C} $$
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### （7） 方程： $$ (e^{x+y} - e^x) \, \mathrm{d}x + (e^{x+y} + e^y) \, \mathrm{d}y = 0 $$ 提取公因式： $$ e^x(e^y - 1) \, \mathrm{d}x + e^y(e^x + 1) \, \mathrm{d}y = 0 $$ 分离变量： $$ \frac{e^x}{e^x + 1} \, \mathrm{d}x + \frac{e^y}{e^y - 1} \, \mathrm{d}y = 0 $$ 积分： $$ \ln(e^x + 1) + \ln|e^y - 1| = C $$ 即 $$ (e^x + 1)(e^y - 1) = C $$ 通解： $$ \boxed{(e^x + 1)(e^y - 1) = C} $$
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### （8） 方程： $$ \cos x \sin y \, \mathrm{d}x + \sin x \cos y \, \mathrm{d}y = 0 $$ 分离变量： $$ \frac{\cos x}{\sin x} \, \mathrm{d}x + \frac{\cos y}{\sin y} \, \mathrm{d}y = 0 $$ 积分： $$ \ln|\sin x| + \ln|\sin y| = C $$ 即 $$ \sin x \sin y = C $$ 通解： $$ \boxed{\sin x \sin y = C} $$
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### （9） 方程： $$ (y+1)^2 \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + x^3 = 0 $$ 即 $$ (y+1)^2 \, \mathrm{d}y = -x^3 \, \mathrm{d}x $$ 积分： $$ \frac{(y+1)^3}{3} = -\frac{x^4}{4} + C $$ 通解： $$ \boxed{\frac{(y+1)^3}{3} + \frac{x^4}{4} = C} $$
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### （10） 方程： $$ y \, \mathrm{d}x + (x^2 - 4x) \, \mathrm{d}y = 0 $$ 分离变量： $$ \frac{\mathrm{d}x}{x(x-4)} + \frac{\mathrm{d}y}{y} = 0 $$ 部分分式： $$ \frac{1}{x(x-4)} = \frac{1}{4}\left( \frac{1}{x-4} - \frac{1}{x} \right) $$ 积分： $$ \frac{1}{4} \ln\left| \frac{x-4}{x} \right| + \ln|y| = C $$ 即 $$ \ln\left( |y| \cdot \left|\frac{x-4}{x}\right|^{1/4} \right) = C $$ 通解： $$ \boxed{y^4 \cdot \frac{x-4}{x} = C} $$
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难度评级：★★☆☆☆ 所有题目均为典型的一阶可分离变量型，计算量小，无复杂技巧，适合初学者练习。