📝 题目
2．求下列微分方程满足所给初值条件的特解： （1）$y^{\prime}=\mathrm{e}^{2 x-y},\left.y\right|_{x=0}=0$ ； （2） $\cos x \sin y \mathrm{~d} y=\cos y \sin x \mathrm{~d} x,\left.y\right|_{x=0}=\frac{\pi}{4}$ ； （3）$y^{\prime} \sin x=y \ln y,\left.y\right|_{x=\frac{\pi}{2}}=\mathrm{e}$ ； （4） $\cos y \mathrm{~d} x+\left(1+\mathrm{e}^{-x}\right) \sin y \mathrm{~d} y=0,\left.y\right|_{x=0}=\frac{\pi}{4}$ ； （5）$x \mathrm{~d} y+2 y \mathrm{~d} x=0,\left.y\right|_{x=2}=1$ ； （6）$\frac{1}{\rho} \frac{\mathrm{~d} \rho}{\mathrm{~d} \theta}+\frac{\rho^{2}+1}{\rho^{2}-1} \cot \theta=0,\left.\rho\right|_{\theta=\frac{\pi}{6}}=3$ ； （7）$x^{2}\left(1+y^{\prime 2}\right)=a^{2},\left.y\right|_{x=a}=0$ ，其中 $a\gt 0$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**（1）** 原方程： $$ y' = e^{2x - y} $$ 分离变量： $$ e^y \, dy = e^{2x} \, dx $$ 两边积分： $$ \int e^y \, dy = \int e^{2x} \, dx $$ 得： $$ e^y = \frac{1}{2} e^{2x} + C $$ 由初值 $x=0, y=0$ 得： $$ 1 = \frac{1}{2} + C \quad\Rightarrow\quad C = \frac{1}{2} $$ 所以特解为： $$ e^y = \frac{1}{2}(e^{2x} + 1) $$ 或 $$ y = \ln\frac{e^{2x}+1}{2} $$
难度：★★☆☆☆
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**（2）** 原方程： $$ \cos x \sin y \, dy = \cos y \sin x \, dx $$ 分离变量： $$ \frac{\sin y}{\cos y} \, dy = \frac{\sin x}{\cos x} \, dx $$ 即 $$ \tan y \, dy = \tan x \, dx $$ 积分得： $$ -\ln|\cos y| = -\ln|\cos x| + C $$ 即 $$ \ln|\cos y| = \ln|\cos x| - C $$ 取指数： $$ \cos y = C_1 \cos x $$ 由初值 $x=0, y=\frac{\pi}{4}$ 得： $$ \cos\frac{\pi}{4} = C_1 \cdot 1 \quad\Rightarrow\quad C_1 = \frac{\sqrt{2}}{2} $$ 特解： $$ \cos y = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x $$
难度：★★☆☆☆
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**（3）** 原方程： $$ y' \sin x = y \ln y $$ 即 $$ \frac{dy}{dx} \sin x = y \ln y $$ 分离变量： $$ \frac{dy}{y \ln y} = \frac{dx}{\sin x} $$ 积分： $$ \int \frac{1}{y \ln y} \, dy = \int \csc x \, dx $$ 左边： $$ \ln|\ln y| $$ 右边： $$ \ln|\tan\frac{x}{2}| + C $$ 所以： $$ \ln|\ln y| = \ln|\tan\frac{x}{2}| + C $$ 即 $$ \ln y = C_1 \tan\frac{x}{2} $$ 由初值 $x=\frac{\pi}{2}, y=e$ 得： $$ \ln e = 1 = C_1 \cdot \tan\frac{\pi}{4} = C_1 $$ 所以特解： $$ \ln y = \tan\frac{x}{2} $$ 即 $$ y = e^{\tan\frac{x}{2}} $$
难度：★★★☆☆
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**（4）** 原方程： $$ \cos y \, dx + (1+e^{-x}) \sin y \, dy = 0 $$ 分离变量： $$ \frac{dx}{1+e^{-x}} = -\frac{\sin y}{\cos y} \, dy $$ 即 $$ \frac{e^x}{e^x+1} dx = -\tan y \, dy $$ 积分： $$ \int \frac{e^x}{e^x+1} dx = \ln(e^x+1) $$ 右边： $$ -\int \tan y \, dy = \ln|\cos y| $$ 所以： $$ \ln(e^x+1) = \ln|\cos y| + C $$ 即 $$ e^x+1 = C_1 \cos y $$ 由初值 $x=0, y=\frac{\pi}{4}$ 得： $$ 1+1 = C_1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \quad\Rightarrow\quad C_1 = 2\sqrt{2} $$ 特解： $$ e^x+1 = 2\sqrt{2} \cos y $$
难度：★★★☆☆
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**（5）** 原方程： $$ x \, dy + 2y \, dx = 0 $$ 分离变量： $$ \frac{dy}{y} = -\frac{2}{x} dx $$ 积分： $$ \ln|y| = -2\ln|x| + C $$ 即 $$ y = \frac{C_1}{x^2} $$ 由初值 $x=2, y=1$ 得： $$ 1 = \frac{C_1}{4} \quad\Rightarrow\quad C_1 = 4 $$ 特解： $$ y = \frac{4}{x^2} $$
难度：★☆☆☆☆
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**（6）** 原方程： $$ \frac{1}{\rho} \frac{d\rho}{d\theta} + \frac{\rho^2+1}{\rho^2-1} \cot\theta = 0 $$ 分离变量： $$ \frac{\rho^2-1}{\rho(\rho^2+1)} d\rho = -\cot\theta \, d\theta $$ 左边分解： $$ \frac{\rho^2-1}{\rho(\rho^2+1)} = \frac{A}{\rho} + \frac{B\rho+C}{\rho^2+1} $$ 解得： $$ A = -1,\quad B=2,\quad C=0 $$ 所以左边积分： $$ \int \left(-\frac{1}{\rho} + \frac{2\rho}{\rho^2+1}\right) d\rho = -\ln|\rho| + \ln(\rho^2+1) $$ 右边积分： $$ -\int \cot\theta \, d\theta = -\ln|\sin\theta| $$ 所以： $$ \ln\frac{\rho^2+1}{\rho} = -\ln|\sin\theta| + C $$ 即 $$ \frac{\rho^2+1}{\rho} = \frac{C_1}{\sin\theta} $$ 由初值 $\theta=\frac{\pi}{6}, \rho=3$ 得： $$ \frac{9+1}{3} = \frac{C_1}{1/2} \quad\Rightarrow\quad \frac{10}{3} = 2C_1 \quad\Rightarrow\quad C_1 = \frac{5}{3} $$ 特解： $$ \frac{\rho^2+1}{\rho} = \frac{5}{3\sin\theta} $$ 或 $$ \rho^2+1 = \frac{5\rho}{3\sin\theta} $$
难度：★★★★☆
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**（7）** 原方程： $$ x^2(1 + y'^2) = a^2 $$ 解得： $$ y' = \pm \frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{x} $$ 由初值 $x=a>0, y=0$，此时根号内为0，取正负均可，先取正： $$ y = \int \frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{x} dx $$ 令 $x = a\sin t$，则 $dx = a\cos t\, dt$，$\sqrt{a^2-x^2}=a\cos t$， 积分变为： $$ \int \frac{a\cos t}{a\sin t} \cdot a\cos t \, dt = a\int \frac{\cos^2 t}{\sin t} dt = a\int \frac{1-\sin^2 t}{\sin t} dt $$ $$ = a\int (\csc t - \sin t) dt = a\left( \ln|\csc t - \cot t| + \cos t \right) + C $$ 由 $x=a\sin t$，当 $x=a$ 时 $\sin t=1$，则 $t=\frac{\pi}{2}$，代入初值 $y=0$： $$ 0 = a\left( \ln|1-0| + 0 \right) + C \quad\Rightarrow\quad C=0 $$ 所以特解为： $$ y = a\left( \ln\left|\frac{a - \sqrt{a^2-x^2}}{x}\right| + \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a} \right) $$ 若取负号，则解为相反数，但初值条件仍满足，通常取正。
难度：★★★★☆