📝 题目
1．求下列齐次方程的通解： （1）$x y^{\prime}-y-\sqrt{y^{2}-x^{2}}=0$ ； （2）$x \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}=y \ln \frac{y}{x}$ ； （3）$\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x-x y \mathrm{~d} y=0$ ； （4）$\left(x^{3}+y^{3}\right) \mathrm{d} x-3 x y^{2} \mathrm{~d} y=0$ ； （5）$\left(2 x \sin \frac{y}{x}+3 y \cos \frac{y}{x}\right) \mathrm{d} x-3 x \cos \frac{y}{x} \mathrm{~d} y=0$ ； （6）$\left(1+2 \mathrm{e}^{x / y}\right) \mathrm{d} x+2 \mathrm{e}^{x / y}\left(1-\frac{x}{y}\right) \mathrm{d} y=0$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 以下为各小题的详细求解过程，每题均使用齐次微分方程的常用方法：令 $ u = \frac{y}{x} $ 或 $ v = \frac{x}{y} $，化为可分离变量方程。
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### （1） $$ x y^{\prime} - y - \sqrt{y^{2} - x^{2}} = 0 $$ 解：化为 $$ y^{\prime} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{y^{2} - x^{2}}}{x} $$ 令 $ y = u x $，则 $ y^{\prime} = u + x u^{\prime} $，代入得 $$ u + x u^{\prime} = u + \sqrt{u^{2} - 1} $$ 化简： $$ x u^{\prime} = \sqrt{u^{2} - 1} $$ 分离变量： $$ \frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{u^{2} - 1}} = \frac{\mathrm{d}x}{x} $$ 积分： $$ \int \frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{u^{2} - 1}} = \ln | x | + C $$ 左边积分得 $ \ln | u + \sqrt{u^{2} - 1} | $，所以 $$ \ln | u + \sqrt{u^{2} - 1} | = \ln | x | + C $$ 即 $$ u + \sqrt{u^{2} - 1} = C x $$ 回代 $ u = \frac{y}{x} $： $$ \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{y^{2}}{x^{2}} - 1} = C x $$ 整理得通解： $$ y + \sqrt{y^{2} - x^{2}} = C x^{2} $$
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### （2） $$ x \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = y \ln \frac{y}{x} $$ 令 $ y = u x $，则 $ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = u + x u^{\prime} $，代入： $$ x (u + x u^{\prime}) = u x \ln u $$ 化简： $$ u + x u^{\prime} = u \ln u $$ $$ x u^{\prime} = u (\ln u - 1) $$ 分离变量： $$ \frac{\mathrm{d}u}{u(\ln u - 1)} = \frac{\mathrm{d}x}{x} $$ 积分： $$ \int \frac{\mathrm{d}u}{u(\ln u - 1)} = \ln |x| + C $$ 左边令 $ t = \ln u $，则 $ \mathrm{d}t = \frac{\mathrm{d}u}{u} $，积分得 $$ \int \frac{\mathrm{d}t}{t - 1} = \ln |t - 1| = \ln |\ln u - 1| $$ 所以 $$ \ln |\ln u - 1| = \ln |x| + C $$ 即 $$ \ln u - 1 = C x $$ 回代 $ u = \frac{y}{x} $： $$ \ln \frac{y}{x} - 1 = C x $$ 通解为 $$ \ln \frac{y}{x} = 1 + C x $$
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### （3） $$ (x^{2} + y^{2}) \mathrm{d}x - x y \mathrm{d}y = 0 $$ 化为 $$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{x^{2} + y^{2}}{x y} $$ 令 $ y = u x $，则 $$ u + x u^{\prime} = \frac{1 + u^{2}}{u} $$ 化简： $$ x u^{\prime} = \frac{1 + u^{2}}{u} - u = \frac{1}{u} $$ 分离变量： $$ u \mathrm{d}u = \frac{\mathrm{d}x}{x} $$ 积分： $$ \frac{u^{2}}{2} = \ln |x| + C $$ 回代 $ u = \frac{y}{x} $： $$ \frac{y^{2}}{2 x^{2}} = \ln |x| + C $$ 通解为 $$ y^{2} = 2 x^{2} (\ln |x| + C) $$
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### （4） $$ (x^{3} + y^{3}) \mathrm{d}x - 3 x y^{2} \mathrm{d}y = 0 $$ 化为 $$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{x^{3} + y^{3}}{3 x y^{2}} $$ 令 $ y = u x $，则 $$ u + x u^{\prime} = \frac{1 + u^{3}}{3 u^{2}} $$ 化简： $$ x u^{\prime} = \frac{1 + u^{3}}{3 u^{2}} - u = \frac{1 + u^{3} - 3 u^{3}}{3 u^{2}} = \frac{1 - 2 u^{3}}{3 u^{2}} $$ 分离变量： $$ \frac{3 u^{2}}{1 - 2 u^{3}} \mathrm{d}u = \frac{\mathrm{d}x}{x} $$ 积分： $$ \int \frac{3 u^{2}}{1 - 2 u^{3}} \mathrm{d}u = \ln |x| + C $$ 左边令 $ t = 1 - 2 u^{3} $，$ \mathrm{d}t = -6 u^{2} \mathrm{d}u $，则 $$ \int \frac{3 u^{2}}{1 - 2 u^{3}} \mathrm{d}u = -\frac{1}{2} \int \frac{\mathrm{d}t}{t} = -\frac{1}{2} \ln |t| $$ 所以 $$ -\frac{1}{2} \ln |1 - 2 u^{3}| = \ln |x| + C $$ 即 $$ \ln |1 - 2 u^{3}| = -2 \ln |x| + C $$ $$ 1 - 2 u^{3} = \frac{C}{x^{2}} $$ 回代 $ u = \frac{y}{x} $： $$ 1 - \frac{2 y^{3}}{x^{3}} = \frac{C}{x^{2}} $$ 通解为 $$ x^{3} - 2 y^{3} = C x $$
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### （5） $$ \left(2 x \sin \frac{y}{x} + 3 y \cos \frac{y}{x}\right) \mathrm{d}x - 3 x \cos \frac{y}{x} \mathrm{d}y = 0 $$ 化为 $$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{2 x \sin \frac{y}{x} + 3 y \cos \frac{y}{x}}{3 x \cos \frac{y}{x}} $$ 令 $ y = u x $，则 $$ u + x u^{\prime} = \frac{2 \sin u + 3 u \cos u}{3 \cos u} $$ 化简： $$ x u^{\prime} = \frac{2 \sin u + 3 u \cos u}{3 \cos u} - u = \frac{2 \sin u}{3 \cos u} $$ 即 $$ x u^{\prime} = \frac{2}{3} \tan u $$ 分离变量： $$ \cot u \mathrm{d}u = \frac{2}{3} \frac{\mathrm{d}x}{x} $$ 积分： $$ \ln |\sin u| = \frac{2}{3} \ln |x| + C $$ 即 $$ \sin u = C x^{2/3} $$ 回代 $ u = \frac{y}{x} $： $$ \sin \frac{y}{x} = C x^{2/3} $$
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### （6） $$ \left(1 + 2 \mathrm{e}^{x / y}\right) \mathrm{d}x + 2 \mathrm{e}^{x / y}\left(1 - \frac{x}{y}\right) \mathrm{d}y = 0 $$ 此方程中 $ x, y $ 对称性不明显，令 $ v = \frac{x}{y} $，则 $ x = v y $， $$ \mathrm{d}x = v \mathrm{d}y + y \mathrm{d}v $$ 代入原方程： $$ (1 + 2 e^{v})(v \mathrm{d}y + y \mathrm{d}v) + 2 e^{v}(1 - v) \mathrm{d}y = 0 $$ 合并 $ \mathrm{d}y $ 项