📝 题目
2．求下列齐次方程满足所给初值条件的特解： （1）$\left(y^{2}-3 x^{2}\right) \mathrm{d} y+2 x y \mathrm{~d} x=0,\left.y\right|_{x=0}=1$ ； （2）$y^{\prime}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x},\left.y\right|_{x=1}=2$ ； （3）$\left(x^{2}+2 x y-y^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(y^{2}+2 x y-x^{2}\right) \mathrm{d} y=0,\left.y\right|_{x=1}=1$ ； （4）$x \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}=y+x \sec \frac{y}{x},\left.y\right|_{x=1}=\frac{\pi}{4}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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**（1）** 原方程： $$ (y^2 - 3x^2) \mathrm{d}y + 2xy \mathrm{d}x = 0,\quad y(0)=1 $$ 化为标准形式： $$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -\frac{2xy}{y^2 - 3x^2} $$ 令 $ y = ux $，则 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = u + x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$，代入得： $$ u + x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = -\frac{2x(ux)}{(ux)^2 - 3x^2} = -\frac{2u}{u^2 - 3} $$ 整理： $$ x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = -\frac{2u}{u^2 - 3} - u = \frac{-2u - u(u^2 - 3)}{u^2 - 3} = \frac{-2u - u^3 + 3u}{u^2 - 3} = \frac{u - u^3}{u^2 - 3} $$ 所以 $$ \frac{u^2 - 3}{u(1 - u^2)} \mathrm{d}u = \frac{\mathrm{d}x}{x} $$ 分解部分分式： $$ \frac{u^2 - 3}{u(1-u^2)} = \frac{A}{u} + \frac{B}{1-u} + \frac{C}{1+u} $$ 解得 $A = -3,\ B = -1,\ C = -1$，于是 $$ \int \left( -\frac{3}{u} - \frac{1}{1-u} - \frac{1}{1+u} \right) \mathrm{d}u = \int \frac{\mathrm{d}x}{x} $$ 积分得： $$ -3\ln|u| + \ln|1-u| + \ln|1+u| = \ln|x| + C $$ 即 $$ \ln\left| \frac{(1-u)(1+u)}{u^3} \right| = \ln|x| + C $$ 去掉对数： $$ \frac{1 - u^2}{u^3} = C x $$ 代回 $ u = \frac{y}{x} $： $$ \frac{1 - \frac{y^2}{x^2}}{\frac{y^3}{x^3}} = C x \quad\Rightarrow\quad \frac{x^2 - y^2}{y^3} = C $$ 代入初值 $x=0, y=1$，左边为 $\frac{0-1}{1} = -1$，所以 $C = -1$，特解为： $$ \frac{x^2 - y^2}{y^3} = -1 \quad\Rightarrow\quad x^2 - y^2 = -y^3 $$ 即 $$ \boxed{x^2 - y^2 + y^3 = 0} $$
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**（2）** 方程： $$ y' = \frac{x}{y} + \frac{y}{x},\quad y(1)=2 $$ 令 $ y = ux $，则 $ y' = u + x u'$，代入： $$ u + x u' = \frac{1}{u} + u \quad\Rightarrow\quad x u' = \frac{1}{u} $$ 分离变量： $$ u \mathrm{d}u = \frac{\mathrm{d}x}{x} $$ 积分： $$ \frac{u^2}{2} = \ln|x| + C $$ 代回 $ u = \frac{y}{x} $： $$ \frac{y^2}{2x^2} = \ln|x| + C $$ 代入 $x=1, y=2$： $$ \frac{4}{2} = \ln 1 + C \quad\Rightarrow\quad 2 = C $$ 所以特解： $$ \frac{y^2}{2x^2} = \ln|x| + 2 \quad\Rightarrow\quad \boxed{y^2 = 2x^2(\ln|x| + 2)} $$
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**（3）** 方程： $$ (x^2 + 2xy - y^2)\mathrm{d}x + (y^2 + 2xy - x^2)\mathrm{d}y = 0,\quad y(1)=1 $$ 令 $ y = ux $，则 $\mathrm{d}y = u\mathrm{d}x + x\mathrm{d}u$，代入： $$ (x^2 + 2x(ux) - (ux)^2)\mathrm{d}x + ((ux)^2 + 2x(ux) - x^2)(u\mathrm{d}x + x\mathrm{d}u) = 0 $$ 化简系数： 第一项系数：$x^2(1 + 2u - u^2)$ 第二项系数：$x^2(u^2 + 2u - 1)$ 方程变为： $$ x^2(1+2u-u^2)\mathrm{d}x + x^2(u^2+2u-1)(u\mathrm{d}x + x\mathrm{d}u) = 0 $$ 除以 $x^2$： $$ (1+2u-u^2)\mathrm{d}x + (u^2+2u-1)(u\mathrm{d}x + x\mathrm{d}u) = 0 $$ 合并 $\mathrm{d}x$ 项系数： $$ [1+2u-u^2 + u(u^2+2u-1)]\mathrm{d}x + x(u^2+2u-1)\mathrm{d}u = 0 $$ 化简 $\mathrm{d}x$ 系数： $$ 1+2u-u^2 + u^3+2u^2-u = 1 + (2u-u) + (-u^2+2u^2) + u^3 = 1 + u + u^2 + u^3 $$ 所以： $$ (1+u+u^2+u^3)\mathrm{d}x + x(u^2+2u-1)\mathrm{d}u = 0 $$ 分离变量： $$ \frac{\mathrm{d}x}{x} = -\frac{u^2+2u-1}{1+u+u^2+u^3}\mathrm{d}u $$ 分母因式分解：$1+u+u^2+u^3 = (1+u)(1+u^2)$，于是 $$ \frac{u^2+2u-1}{(1+u)(1+u^2)} = \frac{A}{1+u} + \frac{Bu+C}{1+u^2} $$ 解得 $A = -1,\ B = 2,\ C = 0$，因此 $$ \frac{\mathrm{d}x}{x} = -\left( -\frac{1}{1+u} + \frac{2u}{1+u^2} \right)\mathrm{d}u = \left( \frac{1}{1+u} - \frac{2u}{1+u^2} \right)\mathrm{d}u $$ 积分： $$ \ln|x| = \ln|1+u| - \ln(1+u^2) + C $$ 即 $$ \ln|x| = \ln\left| \frac{1+u}{1+u^2} \right| + C $$ 去掉对数： $$ x = C \cdot \frac{1+u}{1+u^2} $$ 代回 $ u = \frac{y}{x} $： $$ x = C \cdot \frac{1 + \frac{y}{x}}{1 + \frac{y^2}{x^2}} = C \cdot \frac{\frac{x+y}{x}}{\frac{x^2+y^2}{x^2}} = C \cdot \frac{x+y}{x} \cdot \frac{x^2}{x^2+y^2} = C \cdot \frac{x(x+y)}{x^2+y^2} $$ 两边乘以 $x^2+y^2$： $$ x(x^2+y^2) = C x(x+y) $$ 若 $x \neq 0$，约去 $x$： $$ x^2 + y^2 = C(x+y) $$ 代入 $x=1,y=1$： $$ 1+1 = C(1+1) \quad\Rightarrow\quad 2 = 2C \quad\Rightarrow\quad C=1 $$ 特解： $$ \boxed{x^2 + y^2 = x + y} $$
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**（4）** 方程： $$ x \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = y + x \sec\frac{y}{x