📝 题目
1．求下列微分方程的通解： （1）$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+y=\mathrm{e}^{-x}$ ； （2）$x y^{\prime}+y=x^{2}+3 x+2$ ； （3）$y^{\prime}+y \cos x=\mathrm{e}^{-\mathrm{sin} x}$ ； （4）$y^{\prime}+y \tan x=\sin 2 x$ ； （5）$\left(x^{2}-1\right) y^{\prime}+2 x y-\cos x=0$ ； （6）$\frac{\mathrm{d} \rho}{\mathrm{d} \theta}+3 \rho=2$ ； （7）$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+2 x y=4 x$ ； （8）$y \ln y \mathrm{~d} x+(x-\ln y) \mathrm{d} y=0$ ； （9）$(x-2) \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=y+2(x-2)^{3}$ ； （10）$\left(y^{2}-6 x\right) \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+2 y=0$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 以下为各小题的详细求解过程，均为一阶线性微分方程，使用通解公式 $$ y = e^{-\int P(x)\,dx} \left( \int Q(x) e^{\int P(x)\,dx} dx + C \right) $$ 或相应变量代换。
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### (1) 方程：$\displaystyle \frac{dy}{dx} + y = e^{-x}$ 这里 $P(x)=1,\ Q(x)=e^{-x}$。 积分因子：$\displaystyle \mu = e^{\int 1\,dx} = e^{x}$ 则 $$ y = e^{-x} \left( \int e^{-x} \cdot e^{x} dx + C \right) = e^{-x} \left( \int 1\,dx + C \right) = e^{-x}(x + C) $$ 通解： $$ \boxed{y = (x + C)e^{-x}} $$
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### (2) 方程：$\displaystyle x y' + y = x^{2} + 3x + 2$ 化为标准形式：$\displaystyle y' + \frac{1}{x}y = x + 3 + \frac{2}{x}$ 积分因子：$\displaystyle \mu = e^{\int \frac{1}{x}dx} = x$ 则 $$ y = \frac{1}{x} \left( \int x\left(x + 3 + \frac{2}{x}\right) dx + C \right) = \frac{1}{x} \left( \int (x^{2} + 3x + 2) dx + C \right) $$ $$ = \frac{1}{x} \left( \frac{x^{3}}{3} + \frac{3x^{2}}{2} + 2x + C \right) $$ 通解： $$ \boxed{y = \frac{x^{2}}{3} + \frac{3x}{2} + 2 + \frac{C}{x}} $$
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### (3) 方程：$\displaystyle y' + y \cos x = e^{-\sin x}$ 积分因子：$\displaystyle \mu = e^{\int \cos x\,dx} = e^{\sin x}$ 则 $$ y = e^{-\sin x} \left( \int e^{-\sin x} \cdot e^{\sin x} dx + C \right) = e^{-\sin x} (x + C) $$ 通解： $$ \boxed{y = (x + C)e^{-\sin x}} $$
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### (4) 方程：$\displaystyle y' + y \tan x = \sin 2x$ 积分因子：$\displaystyle \mu = e^{\int \tan x\,dx} = e^{-\ln|\cos x|} = \sec x$ 则 $$ y = \cos x \left( \int \sec x \cdot \sin 2x\,dx + C \right) $$ 注意 $\sin 2x = 2\sin x \cos x$，所以 $$ \sec x \cdot \sin 2x = \frac{1}{\cos x} \cdot 2\sin x \cos x = 2\sin x $$ 积分得 $\int 2\sin x\,dx = -2\cos x$，于是 $$ y = \cos x (-2\cos x + C) = -2\cos^{2}x + C\cos x $$ 通解： $$ \boxed{y = C\cos x - 2\cos^{2}x} $$
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### (5) 方程：$\displaystyle (x^{2}-1)y' + 2xy - \cos x = 0$ 化为标准形式：$\displaystyle y' + \frac{2x}{x^{2}-1}y = \frac{\cos x}{x^{2}-1}$ 积分因子：$\displaystyle \mu = e^{\int \frac{2x}{x^{2}-1}dx} = e^{\ln|x^{2}-1|} = x^{2}-1$ 则 $$ y = \frac{1}{x^{2}-1} \left( \int \cos x\,dx + C \right) = \frac{\sin x + C}{x^{2}-1} $$ 通解： $$ \boxed{y = \frac{\sin x + C}{x^{2}-1}} $$
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### (6) 方程：$\displaystyle \frac{d\rho}{d\theta} + 3\rho = 2$ 积分因子：$\displaystyle \mu = e^{\int 3\,d\theta} = e^{3\theta}$ 则 $$ \rho = e^{-3\theta} \left( \int 2 e^{3\theta} d\theta + C \right) = e^{-3\theta} \left( \frac{2}{3}e^{3\theta} + C \right) = \frac{2}{3} + Ce^{-3\theta} $$ 通解： $$ \boxed{\rho = \frac{2}{3} + Ce^{-3\theta}} $$
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### (7) 方程：$\displaystyle y' + 2xy = 4x$ 积分因子：$\displaystyle \mu = e^{\int 2x\,dx} = e^{x^{2}}$ 则 $$ y = e^{-x^{2}} \left( \int 4x e^{x^{2}} dx + C \right) = e^{-x^{2}} \left( 2e^{x^{2}} + C \right) = 2 + Ce^{-x^{2}} $$ 通解： $$ \boxed{y = 2 + Ce^{-x^{2}}} $$
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### (8) 方程：$\displaystyle y\ln y\,dx + (x - \ln y) dy = 0$ 改写为：$\displaystyle \frac{dx}{dy} + \frac{1}{y\ln y}x = \frac{1}{y}$ 积分因子：$\displaystyle \mu = e^{\int \frac{1}{y\ln y}dy} = e^{\ln|\ln y|} = \ln y$ 则 $$ x = \frac{1}{\ln y} \left( \int \ln y \cdot \frac{1}{y} dy + C \right) = \frac{1}{\ln y} \left( \int \frac{\ln y}{y} dy + C \right) $$ 令 $t = \ln y$，则 $dt = \frac{1}{y}dy$，积分 $\int t\,dt = \frac{t^{2}}{2} = \frac{(\ln y)^{2}}{2}$ 所以 $$ x = \frac{1}{\ln y} \left( \frac{(\ln y)^{2}}{2} + C \right) = \frac{\ln y}{2} + \frac{C}{\ln y} $$ 通解： $$ \boxed{x = \frac{\ln y}{2} + \frac{C}{\ln y}} $$
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### (9) 方程：$\displaystyle (x-2)\frac{dy}{dx} = y + 2(x-2)^{3}$ 化为标准形式：$\displaystyle y' - \frac{1}{x-2}y = 2(x-2)^{2}$ 积分因子：$\displaystyle \mu = e^{-\int \frac{1}{x-2}dx} = e^{-\ln|x-2|} = \frac{1}{x-2}$ 则 $$ y = (x-2) \left( \int \frac{1}{x-2} \cdot 2(x-2)^{2} dx + C \right) = (x-2) \left( \int 2(x-2) dx + C \right) $$ $$ = (x-2) \left( (x-2)^{2} + C \right) = (x-2)^{3} + C(x-2) $$ 通解： $$ \boxed{y = (x-2)^{3} + C(x-2)} $$
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### (10) 方程：$\displaystyle (y^{2} - 6x)\frac{dy}{dx} + 2y = 0$ 改写为：$\displaystyle \frac{dx}{dy} - \frac{3}{y}x = -\frac{y}{2}$ 积分因子：$\displaystyle \mu = e^{-\int \frac{3}{y}dy} = e^{-3\ln|y|} = y^{-3}$ 则 $$ x = y^{3} \left( \int y^{-3} \cdot \left(-\frac{y}{2}\right) dy + C \right) = y^{3} \left( -\frac{1}{2} \int y^{-2} dy + C \right) $$ $$ = y^{3} \left( \frac{1}{2y} + C \right) = \frac{y^{2}}{2} + C y^{3} $$ 通解： $$ \boxed{x = \frac{y^{2}}{