📝 题目
2．求下列微分方程满足所给初值条件的特解： （1）$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}-y \tan x=\sec x,\left.y\right|_{x=0}=0$ ； （2）$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+\frac{y}{x}=\frac{\sin x}{x},\left.y\right|_{x=\pi}=1$ ； （3）$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+y \cot x=5 \mathrm{e}^{\cos x},\left.y\right|_{x=\frac{\pi}{2}}=-4$ ； （4）$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+3 y=8,\left.y\right|_{x=0}=2$ ； （5）$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+\frac{2-3 x^{2}}{x^{3}} y=1,\left.y\right|_{x=1}=0$ ； （6）$x\left(1+x^{2}\right) y^{\prime}+y=1+x^{2},\left.y\right|_{x=1}=0$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们依次求解各一阶线性微分方程的初值问题。 一阶线性微分方程的标准形式为 $$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + P(x) y = Q(x) $$ 通解公式为 $$ y = e^{-\int P(x)\,\mathrm{d}x} \left( \int Q(x) e^{\int P(x)\,\mathrm{d}x}\,\mathrm{d}x + C \right) $$
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### （1） 方程： $$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} - y \tan x = \sec x,\quad y(0)=0 $$ 这里 $P(x) = -\tan x$，$Q(x)=\sec x$。 先求积分因子： $$ \int P(x)\,\mathrm{d}x = \int -\tan x\,\mathrm{d}x = \ln|\cos x| $$ 所以 $$ e^{\int P\,\mathrm{d}x} = \cos x $$ 通解： $$ y = \frac{1}{\cos x}\left( \int \sec x \cdot \cos x\,\mathrm{d}x + C \right) = \frac{1}{\cos x}\left( \int 1\,\mathrm{d}x + C \right) = \frac{x + C}{\cos x} $$ 代入初值 $y(0)=0$： $$ 0 = \frac{0+C}{1} \Rightarrow C=0 $$ 特解： $$ \boxed{y = \frac{x}{\cos x}} $$
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### （2） 方程： $$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + \frac{y}{x} = \frac{\sin x}{x},\quad y(\pi)=1 $$ $P(x)=\frac{1}{x}$，$Q(x)=\frac{\sin x}{x}$。 积分因子： $$ \int P\,\mathrm{d}x = \ln|x| \Rightarrow e^{\int P\,\mathrm{d}x}=x $$ 通解： $$ y = \frac{1}{x}\left( \int \frac{\sin x}{x} \cdot x\,\mathrm{d}x + C \right) = \frac{1}{x}\left( \int \sin x\,\mathrm{d}x + C \right) = \frac{-\cos x + C}{x} $$ 代入 $y(\pi)=1$： $$ 1 = \frac{-\cos\pi + C}{\pi} = \frac{-(-1)+C}{\pi} = \frac{1+C}{\pi} \Rightarrow 1+C = \pi \Rightarrow C = \pi-1 $$ 特解： $$ \boxed{y = \frac{-\cos x + \pi - 1}{x}} $$
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### （3） 方程： $$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + y\cot x = 5e^{\cos x},\quad y\left(\frac{\pi}{2}\right) = -4 $$ $P(x)=\cot x$，$Q(x)=5e^{\cos x}$。 积分因子： $$ \int \cot x\,\mathrm{d}x = \ln|\sin x| \Rightarrow e^{\int P\,\mathrm{d}x} = \sin x $$ 通解： $$ y = \frac{1}{\sin x}\left( \int 5e^{\cos x}\sin x\,\mathrm{d}x + C \right) $$ 计算积分：令 $u=\cos x$，$\mathrm{d}u = -\sin x\,\mathrm{d}x$，则 $$ \int 5e^{\cos x}\sin x\,\mathrm{d}x = \int 5e^{u}(-\mathrm{d}u) = -5e^{u} = -5e^{\cos x} $$ 所以 $$ y = \frac{-5e^{\cos x} + C}{\sin x} $$ 代入 $x=\frac{\pi}{2}$，$\sin\frac{\pi}{2}=1$，$\cos\frac{\pi}{2}=0$： $$ -4 = \frac{-5\cdot 1 + C}{1} \Rightarrow -4 = -5 + C \Rightarrow C=1 $$ 特解： $$ \boxed{y = \frac{1 - 5e^{\cos x}}{\sin x}} $$
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### （4） 方程： $$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + 3y = 8,\quad y(0)=2 $$ $P(x)=3$，$Q(x)=8$。 积分因子： $$ e^{\int 3\,\mathrm{d}x} = e^{3x} $$ 通解： $$ y = e^{-3x}\left( \int 8 e^{3x}\,\mathrm{d}x + C \right) = e^{-3x}\left( \frac{8}{3}e^{3x} + C \right) = \frac{8}{3} + Ce^{-3x} $$ 代入 $y(0)=2$： $$ 2 = \frac{8}{3} + C \Rightarrow C = 2 - \frac{8}{3} = -\frac{2}{3} $$ 特解： $$ \boxed{y = \frac{8}{3} - \frac{2}{3}e^{-3x}} $$
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### （5） 方程： $$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + \frac{2-3x^{2}}{x^{3}} y = 1,\quad y(1)=0 $$ $P(x)=\frac{2-3x^{2}}{x^{3}} = \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x}$，$Q(x)=1$。 积分因子： $$ \int P\,\mathrm{d}x = \int \left( \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x} \right)\mathrm{d}x = -\frac{1}{x^{2}} - 3\ln|x| $$ 所以 $$ e^{\int P\,\mathrm{d}x} = e^{-1/x^{2}} \cdot x^{-3} $$ 通解： $$ y = x^{3}e^{1/x^{2}} \left( \int 1 \cdot x^{-3}e^{-1/x^{2}}\,\mathrm{d}x + C \right) $$ 计算积分：令 $u = -\frac{1}{x^{2}}$，$\mathrm{d}u = \frac{2}{x^{3}}\mathrm{d}x$，则 $$ \int x^{-3}e^{-1/x^{2}}\,\mathrm{d}x = \int \frac{1}{2}e^{u}\,\mathrm{d}u = \frac{1}{2}e^{-1/x^{2}} $$ 所以 $$ y = x^{3}e^{1/x^{2}}\left( \frac{1}{2}e^{-1/x^{2}} + C \right) = \frac{x^{3}}{2} + C x^{3}e^{1/x^{2}} $$ 代入 $y(1)=0$： $$ 0 = \frac{1}{2} + C e^{1} \Rightarrow C = -\frac{1}{2e} $$ 特解： $$ \boxed{y = \frac{x^{3}}{2} - \frac{x^{3}}{2e}e^{1/x^{2}} = \frac{x^{3}}{2}\left(1 - e^{1/x^{2} - 1}\right)} $$
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### （6） 方程： $$ x(1+x^{2})y' + y = 1+x^{2},\quad y(1)=0 $$ 先化为标准形式： $$ y' + \frac{1}{x(1+x^{2})}y = \frac{1+x^{2}}{x(1+x^{2})} = \frac{1}{x} $$ 所以 $P(x)=\frac{1}{x(1+x^{2})}$，$Q(x)=\frac{1}{x}$。 积分因子： $$ \int P\,\mathrm{d}x = \int \frac{1}{x(1+x^{2})}\,\mathrm{d}x $$ 用部分分式： $$ \frac{1}{x(1+x^{2})} = \frac{1}{x} - \frac{x}{1+x^{2}} $$ 积分得 $$ \int P\,\mathrm{d}x = \ln|x| - \frac{1}{2}\ln(1+x^{2}) = \ln\frac{|x|}{\sqrt{1+x^{2}}} $$ 所以 $$ e^{\int P\,\mathrm{d}x} = \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}} $$ 通解： $$ y = \frac{\sqrt{1+x^{2}}}{x}\left( \int \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\,\mathrm{d}x + C \right) = \frac{\sqrt{1+x^{2}}}{x}\left( \int \frac{1