📝 题目
4．设有一质量为 $m$ 的质点做直线运动。从速度等于零的时刻起，有一个与运动方向一致、大小与时间成正比（比例系数为 $k_{1}$ ）的力作用于它，此外还受一与速度成正比（比例系数为 $k_{2}$ ）的阻力作用．求质点运动的速度与时间的函数关系．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 设质点运动的速度为 $v(t)$，根据牛顿第二定律，质点所受合力等于质量乘以加速度。 已知有一个与时间成正比的力 $F_1 = k_1 t$（方向与运动一致），以及一个与速度成正比的阻力 $F_2 = -k_2 v$（负号表示与运动方向相反）。 于是运动方程为：
$$ m \frac{dv}{dt} = k_1 t - k_2 v $$
这是一个一阶线性微分方程，将其化为标准形式：
$$ \frac{dv}{dt} + \frac{k_2}{m} v = \frac{k_1}{m} t $$
令 $p = \frac{k_2}{m}$，$q(t) = \frac{k_1}{m} t$，则方程变为：
$$ \frac{dv}{dt} + p v = \frac{k_1}{m} t $$
解此方程，先求积分因子：
$$ \mu(t) = e^{\displaystyle{}\int p \, dt} = e^{p t} $$
两边乘以积分因子：
$$ e^{p t} \frac{dv}{dt} + p e^{p t} v = \frac{k_1}{m} t e^{p t} $$
即：
$$ \frac{d}{dt}\left( v e^{p t} \right) = \frac{k_1}{m} t e^{p t} $$
两边积分：
$$ v e^{p t} = \frac{k_1}{m} \int t e^{p t} \, dt + C $$
计算积分 $\int t e^{p t} dt$，使用分部积分法，令 $u = t$，$dw = e^{p t} dt$，则 $du = dt$，$w = \frac{1}{p} e^{p t}$，于是：
$$ \int t e^{p t} dt = \frac{t}{p} e^{p t} - \frac{1}{p} \int e^{p t} dt = \frac{t}{p} e^{p t} - \frac{1}{p^2} e^{p t} $$
因此：
$$ v e^{p t} = \frac{k_1}{m} \left( \frac{t}{p} e^{p t} - \frac{1}{p^2} e^{p t} \right) + C $$
两边除以 $e^{p t}$：
$$ v(t) = \frac{k_1}{m} \left( \frac{t}{p} - \frac{1}{p^2} \right) + C e^{-p t} $$
代回 $p = \frac{k_2}{m}$，得：
$$ v(t) = \frac{k_1}{m} \left( \frac{m t}{k_2} - \frac{m^2}{k_2^2} \right) + C e^{-\frac{k_2}{m} t} $$
化简：
$$ v(t) = \frac{k_1}{k_2} t - \frac{k_1 m}{k_2^2} + C e^{-\frac{k_2}{m} t} $$
由初始条件：当 $t=0$ 时，速度 $v(0)=0$，代入得：
$$ 0 = 0 - \frac{k_1 m}{k_2^2} + C \quad \Rightarrow \quad C = \frac{k_1 m}{k_2^2} $$
因此速度函数为：
$$ \boxed{v(t) = \frac{k_1}{k_2} t - \frac{k_1 m}{k_2^2} \left( 1 - e^{-\frac{k_2}{m} t} \right)} $$
难度：★★☆☆☆