📝 题目
6．验证形如 $y f(x y) \mathrm{d} x+x g(x y) \mathrm{d} y=0$ 的微分方程可经变量代换 $v=x y$ 化为可分离变量的方程，并求其通解。
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
我们考虑微分方程 $$ y f(xy) \, \mathrm{d}x + x g(xy) \, \mathrm{d}y = 0. $$ 令 $$ v = xy, $$ 则 $$ \mathrm{d}v = y \, \mathrm{d}x + x \, \mathrm{d}y. $$ 原方程可改写为 $$ y f(v) \, \mathrm{d}x + x g(v) \, \mathrm{d}y = 0. $$ 我们希望将方程用 $v$ 和其中一个变量（比如 $x$ 或 $y$）表示。由 $v = xy$ 可得 $$ y = \frac{v}{x}, \quad \mathrm{d}y = \frac{x \, \mathrm{d}v - v \, \mathrm{d}x}{x^2}. $$ 代入原方程：
第一项： $$ y f(v) \, \mathrm{d}x = \frac{v}{x} f(v) \, \mathrm{d}x. $$
第二项： $$ x g(v) \, \mathrm{d}y = x g(v) \cdot \frac{x \, \mathrm{d}v - v \, \mathrm{d}x}{x^2} = g(v) \, \mathrm{d}v - \frac{v}{x} g(v) \, \mathrm{d}x. $$
将两项相加： $$ \frac{v}{x} f(v) \, \mathrm{d}x + g(v) \, \mathrm{d}v - \frac{v}{x} g(v) \, \mathrm{d}x = 0. $$
合并含 $\mathrm{d}x$ 的项： $$ \frac{v}{x} \bigl[ f(v) - g(v) \bigr] \mathrm{d}x + g(v) \, \mathrm{d}v = 0. $$
这是一个关于 $x$ 和 $v$ 的方程。若 $f(v) \neq g(v)$，可分离变量： $$ \frac{1}{x} \, \mathrm{d}x + \frac{g(v)}{v [f(v) - g(v)]} \, \mathrm{d}v = 0. $$
两边积分得： $$ \int \frac{1}{x} \, \mathrm{d}x + \int \frac{g(v)}{v [f(v) - g(v)]} \, \mathrm{d}v = C, $$ 即 $$ \ln |x| + \int \frac{g(v)}{v [f(v) - g(v)]} \, \mathrm{d}v = C. $$
将 $v = xy$ 代回，得到隐式通解： $$ \ln |x| + \int \frac{g(xy)}{xy [f(xy) - g(xy)]} \, \mathrm{d}(xy) = C. $$
若 $f(v) = g(v)$，则原方程化为 $$ y f(v) \, \mathrm{d}x + x f(v) \, \mathrm{d}y = f(v)(y \, \mathrm{d}x + x \, \mathrm{d}y) = f(v) \, \mathrm{d}v = 0, $$ 此时直接得 $v = xy = \text{常数}$ 为解。
因此，原方程确实可通过代换 $v = xy$ 化为可分离变量方程。
难度：★★☆☆☆