第7章 · 第7-4-7题

[AI解答]

[AI解答]

**习题7-4 第7题**

**(1)** $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=(x+y)^{2}$

令 $u = x + y$，则 $\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} = 1 + \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$，即 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} - 1$。

代入原方程： $$ \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} - 1 = u^2 $$ $$ \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} = u^2 + 1 $$ 分离变量： $$ \frac{\mathrm{d} u}{u^2+1} = \mathrm{d} x $$ 两边积分： $$ \arctan u = x + C $$ 回代 $u = x + y$： $$ \arctan(x+y) = x + C $$ 通解为： $$ \boxed{y = \tan(x+C) - x} $$

---

**(2)** $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{1}{x-y}+1$

令 $u = x - y$，则 $\frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} = 1 - \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}$，即 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = 1 - \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x}$。

代入： $$ 1 - \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} = \frac{1}{u} + 1 $$ 化简： $$ - \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} = \frac{1}{u} $$ $$ \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} = -\frac{1}{u} $$ 分离变量： $$ u \, \mathrm{d} u = - \mathrm{d} x $$ 积分： $$ \frac{u^2}{2} = -x + C $$ 回代 $u = x - y$： $$ \frac{(x-y)^2}{2} = -x + C $$ 通解为： $$ \boxed{(x-y)^2 = -2x + C} $$

---

**(3)** $x y^{\prime}+y=y(\ln x+\ln y)$

改写为： $$ x \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} + y = y \ln(xy) $$ 令 $u = xy$，则 $y = \frac{u}{x}$，$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{x \frac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} x} - u}{x^2}$。

代入： $$ x \cdot \frac{x u' - u}{x^2} + \frac{u}{x} = \frac{u}{x} \ln u $$ 化简左边： $$ \frac{x u' - u}{x} + \frac{u}{x} = \frac{x u'}{x} = u' $$ 所以： $$ u' = \frac{u}{x} \ln u $$ 分离变量： $$ \frac{\mathrm{d} u}{u \ln u} = \frac{\mathrm{d} x}{x} $$ 积分： $$ \ln|\ln u| = \ln|x| + C $$ 即： $$ \ln u = C x $$ 回代 $u = xy$： $$ \boxed{\ln(xy) = C x} $$

---

**(4)** $y^{\prime}=y^{2}+2(\sin x-1) y+\sin ^{2} x-2 \sin x-\cos x+1$

观察右边可配方： $$ y^2 + 2(\sin x - 1)y + (\sin x - 1)^2 = (y + \sin x - 1)^2 $$ 而 $(\sin x - 1)^2 = \sin^2 x - 2\sin x + 1$，与后面比较： 原式右边为： $$ (y + \sin x - 1)^2 - \cos x $$ 所以方程化为： $$ y' = (y + \sin x - 1)^2 - \cos x $$ 令 $u = y + \sin x - 1$，则 $u' = y' + \cos x$，即 $y' = u' - \cos x$。

代入： $$ u' - \cos x = u^2 - \cos x $$ 化简得： $$ u' = u^2 $$ 分离变量： $$ \frac{\mathrm{d} u}{u^2} = \mathrm{d} x $$ 积分： $$ -\frac{1}{u} = x + C $$ 回代 $u = y + \sin x - 1$： $$ -\frac{1}{y + \sin x - 1} = x + C $$ 通解为： $$ \boxed{y = -\frac{1}{x+C} - \sin x + 1} $$

---

**(5)** $y(x y+1) \mathrm{d} x+x\left(1+x y+x^{2} y^{2}\right) \mathrm{d} y=0$

令 $u = xy$，则 $y = \frac{u}{x}$，$\mathrm{d} y = \frac{x \mathrm{d} u - u \mathrm{d} x}{x^2}$。

代入原方程： $$ \frac{u}{x}(u+1) \mathrm{d} x + x\left(1+u+u^2\right) \cdot \frac{x \mathrm{d} u - u \mathrm{d} x}{x^2} = 0 $$ 化简第二项： $$ x\left(1+u+u^2\right) \cdot \frac{x \mathrm{d} u - u \mathrm{d} x}{x^2} = \frac{1+u+u^2}{x} (x \mathrm{d} u - u \mathrm{d} x) $$ 所以原式为： $$ \frac{u(u+1)}{x} \mathrm{d} x + \frac{1+u+u^2}{x} (x \mathrm{d} u - u \mathrm{d} x) = 0 $$ 乘以 $x$： $$ u(u+1) \mathrm{d} x + (1+u+u^2)(x \mathrm{d} u - u \mathrm{d} x) = 0 $$ 整理 $\mathrm{d} x$ 和 $\mathrm{d} u$ 项： $\mathrm{d} x$ 系数：$u(u+1) - u(1+u+u^2) = u(u+1) - u - u^2 - u^3 = u^2+u - u - u^2 - u^3 = -u^3$ $\mathrm{d} u$ 系数：$x(1+u+u^2)$

所以： $$ - u^3 \mathrm{d} x + x(1+u+u^2) \mathrm{d} u = 0 $$ 分离变量： $$ \frac{\mathrm{d} x}{x} = \frac{1+u+u^2}{u^3} \mathrm{d} u $$ 右边分解： $$ \frac{1}{u^3} + \frac{1}{u^2} + \frac{1}{u} $$ 积分： $$ \ln|x| = -\frac{1}{2u^2} - \frac{1}{u} + \ln|u| + C $$ 回代 $u = xy$： $$ \boxed{\ln|xy| - \frac{1}{2x^2 y^2} - \frac{1}{xy} = \ln|x| + C} $$

---

**第8题 伯努利方程**

**(1)** $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+y=y^{2}(\cos x-\sin x)$

这是伯努利方程，$n=2$。令 $z = y^{1-2} = y^{-1}$，则 $z' = -y^{-2} y'$。

原方程除以 $y^2$： $$ y^{-2} y' + y^{-1} = \cos x - \sin x $$ 即： $$ - z' + z = \cos x - \sin x $$ 或： $$ z' - z = \sin x - \cos x $$ 一阶线性，解为： $$ z = e^{\int \mathrm{d} x} \left[ \int e^{-\int \mathrm{d} x} (\sin x - \cos x) \mathrm{d} x + C \right] = e^x \left[ \int e^{-x}(\sin x - \cos x) \mathrm{d