📝 题目
1．求下列各微分方程的通解： （1）$y^{\prime \prime}=x+\sin x$ ； （2）$y^{\prime \prime \prime}=x \mathrm{e}^{x}$ ； （3）$y^{\prime \prime}=\frac{1}{1+x^{2}}$ ； （4）$y^{\prime \prime}=1+y^{\prime 2}$ ； （5）$y^{\prime \prime}=y^{\prime}+x$ ； （6）$x y^{\prime \prime}+y^{\prime}=0$ ； （7）$y y^{\prime \prime}+2 y^{\prime 2}=0$ ； （8）$y^{3} y^{\prime \prime}-1=0$ ； （9）$y^{\prime \prime}=\frac{1}{\sqrt{y}}$ ； （10）$y^{\prime \prime}=y^{\prime 3}+y^{\prime}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
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以下为各小题的详细求解过程。
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**(1)** $ y'' = x + \sin x $
直接积分两次： $$ y' = \displaystyle\int (x + \sin x) \, dx = \frac{x^2}{2} - \cos x + C_1 $$ $$ y = \displaystyle\int \left( \frac{x^2}{2} - \cos x + C_1 \right) dx = \frac{x^3}{6} - \sin x + C_1 x + C_2 $$ 通解： $$ \boxed{y = \frac{x^3}{6} - \sin x + C_1 x + C_2} $$
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**(2)** $ y''' = x e^{x} $
连续积分三次： 第一次： $$ y'' = \displaystyle\int x e^{x} \, dx = (x-1)e^{x} + C_1 $$ 第二次： $$ y' = \displaystyle\int \left[ (x-1)e^{x} + C_1 \right] dx = (x-2)e^{x} + C_1 x + C_2 $$ 第三次： $$ y = \displaystyle\int \left[ (x-2)e^{x} + C_1 x + C_2 \right] dx = (x-3)e^{x} + \frac{C_1}{2}x^2 + C_2 x + C_3 $$ 通解： $$ \boxed{y = (x-3)e^{x} + \frac{C_1}{2}x^2 + C_2 x + C_3} $$
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**(3)** $ y'' = \frac{1}{1+x^2} $
积分一次： $$ y' = \displaystyle\int \frac{1}{1+x^2} dx = \arctan x + C_1 $$ 再积分： $$ y = \displaystyle\int (\arctan x + C_1) dx = x \arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C_1 x + C_2 $$ 通解： $$ \boxed{y = x \arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C_1 x + C_2} $$
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**(4)** $ y'' = 1 + (y')^2 $
令 $ p = y' $，则 $ y'' = p' $，方程化为： $$ p' = 1 + p^2 $$ 分离变量： $$ \frac{dp}{1+p^2} = dx $$ 积分： $$ \arctan p = x + C_1 \quad\Rightarrow\quad p = \tan(x + C_1) $$ 即： $$ y' = \tan(x + C_1) $$ 再积分： $$ y = \displaystyle\int \tan(x + C_1) dx = -\ln|\cos(x + C_1)| + C_2 $$ 通解： $$ \boxed{y = -\ln|\cos(x + C_1)| + C_2} $$
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**(5)** $ y'' = y' + x $
令 $ p = y' $，则 $ p' = p + x $，即一阶线性方程： $$ p' - p = x $$ 积分因子 $ \mu = e^{-x} $： $$ \frac{d}{dx}(p e^{-x}) = x e^{-x} $$ 积分： $$ p e^{-x} = \displaystyle\int x e^{-x} dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C_1 $$ 所以： $$ p = -x - 1 + C_1 e^{x} $$ 即： $$ y' = -x - 1 + C_1 e^{x} $$ 积分： $$ y = -\frac{x^2}{2} - x + C_1 e^{x} + C_2 $$ 通解： $$ \boxed{y = -\frac{x^2}{2} - x + C_1 e^{x} + C_2} $$
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**(6)** $ x y'' + y' = 0 $
令 $ p = y' $，则 $ x p' + p = 0 $，即： $$ \frac{dp}{p} = -\frac{dx}{x} $$ 积分： $$ \ln|p| = -\ln|x| + C_1 \quad\Rightarrow\quad p = \frac{C_1}{x} $$ 所以： $$ y' = \frac{C_1}{x} $$ 积分： $$ y = C_1 \ln|x| + C_2 $$ 通解： $$ \boxed{y = C_1 \ln|x| + C_2} $$
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**(7)** $ y y'' + 2 (y')^2 = 0 $
令 $ p = y' $，则 $ y'' = p \frac{dp}{dy} $，代入： $$ y p \frac{dp}{dy} + 2 p^2 = 0 $$ 若 $ p \neq 0 $，两边除以 $ p $： $$ y \frac{dp}{dy} + 2p = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{dp}{p} = -\frac{2}{y} dy $$ 积分： $$ \ln|p| = -2\ln|y| + C_1 \quad\Rightarrow\quad p = \frac{C_1}{y^2} $$ 即： $$ \frac{dy}{dx} = \frac{C_1}{y^2} \quad\Rightarrow\quad y^2 dy = C_1 dx $$ 积分： $$ \frac{y^3}{3} = C_1 x + C_2 $$ 通解： $$ \boxed{y^3 = 3C_1 x + C_2} $$ （其中 $ C_2 $ 为任意常数，也可写作 $ y^3 = C_1 x + C_2 $ 形式）
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**(8)** $ y^3 y'' - 1 = 0 $
令 $ p = y' $，则 $ y'' = p \frac{dp}{dy} $，代入： $$ y^3 p \frac{dp}{dy} = 1 \quad\Rightarrow\quad p dp = \frac{dy}{y^3} $$ 积分： $$ \frac{p^2}{2} = -\frac{1}{2 y^2} + C_1 \quad\Rightarrow\quad p^2 = C_1 - \frac{1}{y^2} $$ 所以： $$ \frac{dy}{dx} = \pm \sqrt{C_1 - \frac{1}{y^2}} $$ 分离变量： $$ \frac{y \, dy}{\sqrt{C_1 y^2 - 1}} = \pm dx $$ 令 $ u = C_1 y^2 - 1 $，则 $ du = 2 C_1 y dy $，积分得： $$ \frac{1}{C_1} \sqrt{C_1 y^2 - 1} = \pm x + C_2 $$ 平方后整理： $$ C_1 y^2 - 1 = C_1^2 (x + C_2)^2 $$ 通解： $$ \boxed{y^2 = C_1 (x + C_2)^2 + \frac{1}{C_1}} $$
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**(9)** $ y'' = \frac{1}{\sqrt{y}} $
令 $ p = y' $，则 $ p \frac{dp}{dy} = \frac{1}{\sqrt{y}} $，即： $$ p dp = y^{-1/2} dy $$ 积分： $$ \frac{p^2}{2} = 2 y^{1/2} + C_1 \quad\Rightarrow\quad p^2 = 4\sqrt{y} + C_1 $$ 所以： $$ \frac{dy}{dx} = \pm \sqrt{4\sqrt{y} + C_1} $$ 分离变量： $$ \frac{dy}{\sqrt{4\sqrt{y} + C_1}} = \pm dx $$ 令 $ u = \sqrt{y} $，则 $ dy = 2u du $，积分： $$ \displaystyle\int \frac{2u du}{\sqrt{4u + C_1}} = \pm x + C_2 $$ 计算积分（令 $ t = 4u + C_1 $）得： $$ \frac{1}{6} (4\sqrt{y} + C_1)^{3/2} - \frac{C_1}{2} \sqrt{4\sqrt{y} + C_1} = \pm x + C_2 $$ 通解较复杂，通常保留隐式形式： $$ \boxed{\displaystyle\int \frac{dy}{\sqrt{4\sqrt{y} + C_1}} = \pm x + C_