📝 题目
3．求下列各微分方程满足所给初值条件的特解： （1）$y^{3} y^{\prime \prime}+1=0,\left.y\right|_{x=1}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=1}=0$ ； （2）$y^{\prime \prime}-a y^{\prime 2}=0,\left.y\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=-1$ ； （3）$y^{\prime \prime \prime}=\mathrm{e}^{a x},\left.y\right|_{x=1}=\left.y^{\prime}\right|_{x=1}=\left.y^{\prime \prime}\right|_{x=1}=0$ ； （4）$y^{\prime \prime}=\mathrm{e}^{2 y},\left.y\right|_{x=0}=\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=0$ ； （5）$y^{\prime \prime}=3 \sqrt{y},\left.y\right|_{x=0}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=2$ ； （6）$y^{\prime \prime}+y^{\prime 2}=1,\left.y\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=0$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
以下为各小题的详细求解过程。
---
### （1） 方程：$y^{3} y^{\prime \prime}+1=0$，初值：$y(1)=1,\; y'(1)=0$。 解法：令 $p = y'$，则 $y'' = p \frac{dp}{dy}$，代入得 $$ y^3 p \frac{dp}{dy} + 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad p\,dp = - y^{-3} dy. $$ 积分： $$ \int p\,dp = -\int y^{-3} dy \quad\Rightarrow\quad \frac{p^2}{2} = \frac{1}{2} y^{-2} + C_1. $$ 由 $y=1$ 时 $p=0$，得 $0 = \frac12 + C_1 \Rightarrow C_1 = -\frac12$。 于是 $$ p^2 = y^{-2} - 1 \quad\Rightarrow\quad y' = \pm \sqrt{\frac{1}{y^2} - 1}. $$ 由初值 $y'(1)=0$ 且 $y>0$，取正号，得 $$ \frac{dy}{dx} = \sqrt{\frac{1-y^2}{y^2}} = \frac{\sqrt{1-y^2}}{y}. $$ 分离变量： $$ \frac{y\,dy}{\sqrt{1-y^2}} = dx. $$ 积分： $$ -\sqrt{1-y^2} = x + C_2. $$ 代入 $x=1,y=1$，得 $0 = 1 + C_2 \Rightarrow C_2 = -1$。 故 $$ -\sqrt{1-y^2} = x - 1 \quad\Rightarrow\quad \sqrt{1-y^2} = 1-x. $$ 平方得 $1-y^2 = (1-x)^2$，即 $$ y^2 = 1 - (1-x)^2 = 2x - x^2. $$ 由 $y(1)=1$ 取正根，得特解 $$ \boxed{y = \sqrt{2x - x^2}}. $$
---
### （2） 方程：$y'' - a y'^2 = 0$，初值：$y(0)=0,\; y'(0)=-1$。 令 $p = y'$，则 $y'' = p'$，方程化为 $$ p' - a p^2 = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{dp}{dx} = a p^2. $$ 分离变量： $$ \frac{dp}{p^2} = a\,dx. $$ 积分： $$ -\frac{1}{p} = a x + C_1. $$ 由 $x=0$ 时 $p=-1$，得 $-(-1) = 0 + C_1 \Rightarrow C_1 = 1$。 于是 $$ -\frac{1}{p} = a x + 1 \quad\Rightarrow\quad p = -\frac{1}{a x + 1}. $$ 即 $$ \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{a x + 1}. $$ 积分： $$ y = -\frac{1}{a} \ln|a x + 1| + C_2. $$ 由 $y(0)=0$，得 $0 = -\frac{1}{a}\ln 1 + C_2 \Rightarrow C_2 = 0$。 故特解为 $$ \boxed{y = -\frac{1}{a} \ln(a x + 1)}. $$
---
### （3） 方程：$y''' = e^{a x}$，初值：$y(1)=y'(1)=y''(1)=0$。 逐次积分： $$ y'' = \int e^{a x} dx = \frac{1}{a} e^{a x} + C_1. $$ 由 $y''(1)=0$ 得 $0 = \frac{1}{a} e^{a} + C_1 \Rightarrow C_1 = -\frac{e^{a}}{a}$。 所以 $$ y'' = \frac{1}{a}(e^{a x} - e^{a}). $$ 再积分： $$ y' = \frac{1}{a}\left( \frac{1}{a} e^{a x} - e^{a} x \right) + C_2 = \frac{1}{a^2} e^{a x} - \frac{e^{a}}{a} x + C_2. $$ 由 $y'(1)=0$ 得 $$ 0 = \frac{1}{a^2} e^{a} - \frac{e^{a}}{a} + C_2 \quad\Rightarrow\quad C_2 = e^{a}\left(\frac{1}{a} - \frac{1}{a^2}\right). $$ 再积分： $$ y = \frac{1}{a^3} e^{a x} - \frac{e^{a}}{2a} x^2 + C_2 x + C_3. $$ 由 $y(1)=0$ 得 $$ 0 = \frac{1}{a^3} e^{a} - \frac{e^{a}}{2a} + C_2 + C_3. $$ 代入 $C_2$ 得 $$ C_3 = -\frac{e^{a}}{a^3} + \frac{e^{a}}{2a} - e^{a}\left(\frac{1}{a} - \frac{1}{a^2}\right) = e^{a}\left( -\frac{1}{a^3} + \frac{1}{2a} - \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} \right) = e^{a}\left( -\frac{1}{a^3} + \frac{1}{a^2} - \frac{1}{2a} \right). $$ 故特解为 $$ \boxed{y = \frac{1}{a^3} e^{a x} - \frac{e^{a}}{2a} x^2 + e^{a}\left(\frac{1}{a} - \frac{1}{a^2}\right)x + e^{a}\left( -\frac{1}{a^3} + \frac{1}{a^2} - \frac{1}{2a} \right)}. $$
---
### （4） 方程：$y'' = e^{2y}$，初值：$y(0)=0,\; y'(0)=0$。 令 $p = y'$，则 $y'' = p \frac{dp}{dy}$，得 $$ p \frac{dp}{dy} = e^{2y}. $$ 分离变量： $$ p\,dp = e^{2y} dy. $$ 积分： $$ \frac{p^2}{2} = \frac{1}{2} e^{2y} + C_1. $$ 由 $y=0$ 时 $p=0$，得 $0 = \frac12 + C_1 \Rightarrow C_1 = -\frac12$。 于是 $$ p^2 = e^{2y} - 1 \quad\Rightarrow\quad y' = \sqrt{e^{2y} - 1}. $$ 分离变量： $$ \frac{dy}{\sqrt{e^{2y} - 1}} = dx. $$ 令 $u = e^{y}$，则 $du = e^{y} dy = u\,dy$，$dy = \frac{du}{u}$， $$ \frac{dy}{\sqrt{e^{2y} - 1}} = \frac{du}{u \sqrt{u^2 - 1}} = \frac{du}{u^2 \sqrt{1 - u^{-2}}}. $$ 更简单： $$ \int \frac{dy}{\sqrt{e^{2y} - 1}} = \int \frac{e^{-y} dy}{\sqrt{1 - e^{-2y}}} = -\int \frac{d(e^{-y})}{\sqrt{1 - (e^{-y})^2}} = -\arcsin(e^{-y}) + C. $$ 于是 $$ -\arcsin(e^{-y}) = x + C_2. $$ 由 $x=0,y=0$ 得 $-\arcsin(1) = C_2 \Rightarrow C_2 = -\frac{\pi}{2}$。 故 $$ -\arcsin(e^{-y}) = x - \frac{\pi}{2} \quad\Rightarrow\quad \arcsin(e^{-y}) = \frac{\pi}{2} - x. $$ 所以 $$ e^{-y} = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x. $$ 得 $$ \boxed{y = -\ln(\cos x)}. $$
---
### （5） 方程：$y''