📝 题目
5．设有一质量为 $m$ 的物体在空中由静止开始下落，如果空气阻力 $R=c v$（其中 $c$ 为常数，$v$ 为物体运动的速度），试求物体下落的距离 $s$ 与时间 $t$ 的函数关系．
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们考虑质量为 $ m $ 的物体在重力作用下由静止下落，同时受到与速度成正比的空气阻力 $ R = c v $，其中 $ c > 0 $ 为常数。取竖直向下为正方向，根据牛顿第二定律：
$$ m \frac{dv}{dt} = mg - c v $$
这是一个一阶线性微分方程，初始条件为 $ v(0) = 0 $。
将方程改写为：
$$ \frac{dv}{dt} = g - \frac{c}{m} v $$
令 $ k = \frac{c}{m} > 0 $，则：
$$ \frac{dv}{dt} = g - k v $$
分离变量：
$$ \frac{dv}{g - k v} = dt $$
两边积分：
$$ \int \frac{dv}{g - k v} = \int dt $$
得：
$$ -\frac{1}{k} \ln |g - k v| = t + C $$
由初始条件 $ v(0) = 0 $ 得：
$$ -\frac{1}{k} \ln g = C $$
代入得：
$$ -\frac{1}{k} \ln |g - k v| = t - \frac{1}{k} \ln g $$
整理：
$$ \ln \frac{g - k v}{g} = -k t $$
因此：
$$ g - k v = g e^{-k t} $$
解得速度：
$$ v(t) = \frac{g}{k} \left(1 - e^{-k t}\right) $$
由于 $ v = \frac{ds}{dt} $，且初始位置 $ s(0) = 0 $，积分得：
$$ s(t) = \int_0^t v(\tau) \, d\tau = \frac{g}{k} \int_0^t \left(1 - e^{-k \tau}\right) d\tau $$
计算积分：
$$ \int_0^t 1 \, d\tau = t, \quad \int_0^t e^{-k \tau} d\tau = \frac{1 - e^{-k t}}{k} $$
所以：
$$ s(t) = \frac{g}{k} \left[ t - \frac{1 - e^{-k t}}{k} \right] $$
将 $ k = \frac{c}{m} $ 代回，得：
$$ \boxed{s(t) = \frac{mg}{c} \left[ t - \frac{m}{c} \left(1 - e^{-\frac{c}{m} t}\right) \right]} $$
这就是物体下落距离与时间的关系。
难度：★★☆☆☆