📝 题目
＊8．已知齐次线性方程 $x^{2} y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+y=0$ 的通解为 $Y(x)=C_{1} x+C_{2} x \ln |x|$ ，求非齐次线性方程 $x^{2} y^{\prime \prime}- x y^{\prime}+y=x$ 的通解．
💡 答案与解析
[AI解答]
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已知对应的齐次方程通解为 $$ Y(x)=C_{1}x + C_{2}x\ln|x|. $$ 我们要求非齐次方程 $$ x^{2}y'' - x y' + y = x $$ 的一个特解，然后加上齐次通解即得非齐次通解。
**第一步：化为标准形式** 将方程两边除以 $x^{2}$（注意 $x\neq 0$）： $$ y'' - \frac{1}{x}y' + \frac{1}{x^{2}}y = \frac{1}{x}. $$
**第二步：使用常数变易法** 设特解形式为 $$ y_{p}(x) = u_{1}(x) \cdot x + u_{2}(x) \cdot x\ln|x|. $$ 其中 $u_{1}', u_{2}'$ 满足方程组 $$ \begin{cases} u_{1}' x + u_{2}' (x\ln|x|) = 0,\$$4pt] u_{1}' (1) + u_{2}' (1 + \ln|x|) = \displaystyle\frac{1}{x}. \end{cases} $$ 这里第一行来自“导数为零”条件，第二行来自非齐次项。
**第三步：解出 $u_{1}', u_{2}'$** 由第一式得 $$ u_{1}' = -u_{2}'\ln|x|. $$ 代入第二式： $$ - u_{2}'\ln|x| + u_{2}'(1+\ln|x|) = \frac{1}{x}, $$ 化简得 $$ u_{2}' = \frac{1}{x}. $$ 于是 $$ u_{1}' = -\frac{1}{x}\ln|x|. $$
**第四步：积分求 $u_{1}, u_{2}$** $$ u_{2} = \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|, $$ $$ u_{1} = -\int \frac{\ln|x|}{x}\,dx. $$ 令 $t = \ln|x|$，则 $dt = \frac{dx}{x}$，得 $$ u_{1} = -\int t\,dt = -\frac{t^{2}}{2} = -\frac{(\ln|x|)^{2}}{2}. $$
**第五步：写出特解** $$ y_{p} = u_{1}x + u_{2}x\ln|x| = -\frac{(\ln|x|)^{2}}{2} \cdot x + (\ln|x|)\cdot x\ln|x| = -\frac{x}{2}(\ln|x|)^{2} + x(\ln|x|)^{2} = \frac{x}{2}(\ln|x|)^{2}. $$
**第六步：写出非齐次通解** $$ \boxed{y = C_{1}x + C_{2}x\ln|x| + \frac{x}{2}(\ln|x|)^{2}}. $$
难度：★★☆☆☆