📝 题目
1．下题中给出了四个结论，从中选一个正确的结论： 在下列微分方程中，以 $y=C_{1} \mathrm{e}^{-x}+C_{2} \cos x+C_{3} \sin x\left(C_{1}, C_{2}, C_{3}\right.$ 为任意常数）为通解的常系数齐次线性微分方程是 ）． （A）$y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-y^{\prime}-y=0$ （B）$y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}+y^{\prime}+y=0$ （C）$y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y=0$ （D）$y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-y^{\prime}-y=0$
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 已知通解为 $$ y = C_1 e^{-x} + C_2 \cos x + C_3 \sin x $$ 对应的特征根为 $$ r_1 = -1,\quad r_2 = i,\quad r_3 = -i $$ 特征多项式为 $$ (r + 1)(r - i)(r + i) = (r+1)(r^2 + 1) $$ 展开计算： $$ (r+1)(r^2+1) = r^3 + r^2 + r + 1 $$ 因此特征方程为 $$ r^3 + r^2 + r + 1 = 0 $$ 对应的微分方程为 $$ y''' + y'' + y' + y = 0 $$ 对照选项，此为（B）。
故正确选项为： $$ \boxed{B} $$
难度：★★☆☆☆