📝 题目
4．一个单位质量的质点在数轴上运动，开始时质点在原点 $O$ 处且速度为 $v_{0}$ ，在运动过程中，它受到一个力的作用，这个力的大小与质点到原点的距离成正比 （比例系数 $k_{1}\gt 0$ ）而方向与初速度一致。又介质的阻力与速度成正比（比例系数 $k_{2}\gt 0$ ）．求反映这质点的运动规律的函数．
💡 答案与解析
[AI解答]
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我们设质点在时刻 $t$ 的位置为 $x(t)$，初始条件为： $$ x(0)=0,\quad x'(0)=v_0 > 0. $$
质点受到两个力： - 与到原点距离成正比的力，方向与初速度一致，即沿 $x$ 轴正方向，大小为 $k_1|x(t)|$。由于初始向正方向运动，且力也指向正方向，在运动过程中 $x(t)\ge 0$，因此这个力为 $k_1 x(t)$。 - 介质阻力与速度成正比，方向与速度相反，大小为 $k_2 v(t)$，即 $-k_2 x'(t)$。
由牛顿第二定律（质量为单位质量）： $$ x''(t) = k_1 x(t) - k_2 x'(t). $$
整理得二阶线性常系数微分方程： $$ x'' + k_2 x' - k_1 x = 0. $$
特征方程为： $$ r^2 + k_2 r - k_1 = 0, $$ 解得： $$ r = \frac{-k_2 \pm \sqrt{k_2^2 + 4k_1}}{2}. $$ 记 $$ \Delta = k_2^2 + 4k_1 > 0, $$ 则两个实根为： $$ r_1 = \frac{-k_2 + \sqrt{\Delta}}{2} > 0,\quad r_2 = \frac{-k_2 - \sqrt{\Delta}}{2} < 0. $$
因此通解为： $$ x(t) = C_1 e^{r_1 t} + C_2 e^{r_2 t}. $$
代入初始条件： $$ x(0) = C_1 + C_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad C_2 = -C_1. $$ $$ x'(t) = C_1 r_1 e^{r_1 t} + C_2 r_2 e^{r_2 t}, $$ $$ x'(0) = C_1 r_1 + C_2 r_2 = C_1(r_1 - r_2) = v_0. $$ 由于 $$ r_1 - r_2 = \sqrt{\Delta}, $$ 得 $$ C_1 = \frac{v_0}{\sqrt{\Delta}},\quad C_2 = -\frac{v_0}{\sqrt{\Delta}}. $$
所以运动规律为： $$ x(t) = \frac{v_0}{\sqrt{k_2^2 + 4k_1}} \left( e^{\frac{-k_2 + \sqrt{k_2^2+4k_1}}{2}\, t} - e^{\frac{-k_2 - \sqrt{k_2^2+4k_1}}{2}\, t} \right). $$
可以写成双曲正弦形式： $$ x(t) = \frac{2v_0}{\sqrt{k_2^2+4k_1}}\, e^{-\frac{k_2}{2}t}\, \sinh\!\left( \frac{\sqrt{k_2^2+4k_1}}{2}\, t \right). $$
这就是质点的运动函数。
难度：★★★☆☆ （涉及二阶常系数线性微分方程求解与物理建模，计算稍复杂但思路常规）