📝 题目
1．求下列各微分方程的通解： （1） $2 y^{\prime \prime}+y^{\prime}-y=2 \mathrm{e}^{x}$ ； （2）$y^{\prime \prime}+a^{2} y=\mathrm{e}^{x}$ ； （3） $2 y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}=5 x^{2}-2 x-1$ ； （4）$y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=3 x \mathrm{e}^{-x}$ ； （5）$y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=\mathrm{e}^{x} \sin 2 x$ ； （6）$y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=(x+1) \mathrm{e}^{3 x}$ ； （7）$y^{\prime \prime}+5 y^{\prime}+4 y=3-2 x$ ； （8）$y^{\prime \prime}+4 y=x \cos x$ ； （9）$y^{\prime \prime}+y=\mathrm{e}^{x}+\cos x$ ； （10）$y^{\prime \prime}-y=\sin ^{2} x$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 以下为各题详细求解过程。
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### （1）$2 y'' + y' - y = 2 e^{x}$
**解：** 齐次方程：$2 r^2 + r - 1 = 0$，解得 $r = \frac{1}{2},\ -1$，故齐次通解 $$ y_h = C_1 e^{\frac{x}{2}} + C_2 e^{-x}. $$ 设特解形式 $y_p = A e^{x}$，代入得 $$ 2A e^{x} + A e^{x} - A e^{x} = 2A e^{x} = 2 e^{x} \Rightarrow A = 1. $$ 所以通解 $$ \boxed{y = C_1 e^{\frac{x}{2}} + C_2 e^{-x} + e^{x}}. $$
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### （2）$y'' + a^2 y = e^{x}$
**解：** 齐次特征方程 $r^2 + a^2 = 0$，$r = \pm i a$，故 $$ y_h = C_1 \cos(ax) + C_2 \sin(ax). $$ 设特解 $y_p = A e^{x}$，代入得 $$ A e^{x} + a^2 A e^{x} = (1 + a^2) A e^{x} = e^{x} \Rightarrow A = \frac{1}{1 + a^2}. $$ 通解 $$ \boxed{y = C_1 \cos(ax) + C_2 \sin(ax) + \frac{e^{x}}{1 + a^2}}. $$
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### （3）$2 y'' + 5 y' = 5x^2 - 2x - 1$
**解：** 齐次：$2 r^2 + 5 r = r(2r+5)=0$，得 $r=0,\ -\frac{5}{2}$，故 $$ y_h = C_1 + C_2 e^{-\frac{5}{2}x}. $$ 右端为二次多项式，因 $r=0$ 是根，设 $$ y_p = x(Ax^2 + Bx + C) = A x^3 + B x^2 + C x. $$ 求导： $y_p' = 3A x^2 + 2B x + C$， $y_p'' = 6A x + 2B$。 代入方程： $$ 2(6A x + 2B) + 5(3A x^2 + 2B x + C) = 15A x^2 + (12A + 10B)x + (4B + 5C). $$ 与右边 $5x^2 - 2x - 1$ 比较系数： $$ 15A = 5 \Rightarrow A = \frac{1}{3},\quad 12A + 10B = -2 \Rightarrow 4 + 10B = -2 \Rightarrow B = -\frac{3}{5}, $$ $$ 4B + 5C = -1 \Rightarrow -\frac{12}{5} + 5C = -1 \Rightarrow 5C = \frac{7}{5} \Rightarrow C = \frac{7}{25}. $$ 所以 $$ \boxed{y = C_1 + C_2 e^{-\frac{5}{2}x} + \frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{5}x^2 + \frac{7}{25}x}. $$
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### （4）$y'' + 3y' + 2y = 3x e^{-x}$
**解：** 齐次：$r^2 + 3r + 2 = 0$，得 $r = -1,\ -2$，故 $$ y_h = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x}. $$ 右端为 $3x e^{-x}$，$\lambda = -1$ 是单根，设 $$ y_p = x(Ax + B)e^{-x} = (A x^2 + B x) e^{-x}. $$ 求导代入（略去详细计算），比较系数得 $A = \frac{3}{2},\ B = -3$。 故 $$ \boxed{y = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x} + \left(\frac{3}{2}x^2 - 3x\right)e^{-x}}. $$
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### （5）$y'' - 2y' + 5y = e^{x} \sin 2x$
**解：** 齐次：$r^2 - 2r + 5 = 0$，得 $r = 1 \pm 2i$，故 $$ y_h = e^{x}(C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x). $$ 右端 $e^{x} \sin 2x$ 对应 $\lambda = 1 \pm 2i$ 恰为特征根，设 $$ y_p = x e^{x}(A \cos 2x + B \sin 2x). $$ 代入方程解得 $A = -\frac{1}{4},\ B = 0$，故 $$ \boxed{y = e^{x}(C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x) - \frac{x}{4} e^{x} \cos 2x}. $$
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### （6）$y'' - 6y' + 9y = (x+1)e^{3x}$
**解：** 齐次：$(r-3)^2=0$，得二重根 $r=3$，故 $$ y_h = (C_1 + C_2 x) e^{3x}. $$ 右端对应 $\lambda=3$ 是二重根，设 $$ y_p = x^2 (Ax + B) e^{3x} = (A x^3 + B x^2) e^{3x}. $$ 代入解得 $A = \frac{1}{6},\ B = \frac{1}{2}$，故 $$ \boxed{y = (C_1 + C_2 x) e^{3x} + \left(\frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{2}x^2\right) e^{3x}}. $$
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### （7）$y'' + 5y' + 4y = 3 - 2x$
**解：** 齐次：$r^2 + 5r + 4 = 0$，得 $r = -1,\ -4$，故 $$ y_h = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-4x}. $$ 设特解 $y_p = Ax + B$，代入得 $$ 0 + 5A + 4(Ax + B) = 4A x + (5A + 4B) = -2x + 3. $$ 比较系数： $4A = -2 \Rightarrow A = -\frac{1}{2}$， $5A + 4B = 3 \Rightarrow -\frac{5}{2} + 4B = 3 \Rightarrow 4B = \frac{11}{2} \Rightarrow B = \frac{11}{8}$。 故 $$ \boxed{y = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-4x} - \frac{1}{2}x + \frac{11}{8}}. $$
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### （8）$y'' + 4y = x \cos x$
**解：** 齐次：$r^2 + 4 = 0$，得 $r = \pm 2i$，故 $$ y_h = C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x. $$ 右端为 $x \cos x$，$\lambda = \pm i$ 不是特征根，设 $$ y_p = (Ax + B) \cos x + (Cx + D) \sin x. $$ 代入方程，比较系数得 $A = \frac{1}{3},\ B = 0,\ C = 0,\ D = -\frac{1}{9}$，故 $$ \boxed{y = C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x + \frac{x}{3} \cos x - \frac{1}{9} \sin x}. $$
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### （9）$y'' + y = e^{x} + \cos x$
**解：** 齐次：$r^2 + 1 = 0$，得 $r = \pm i$，故 $$ y_h = C_1 \cos x + C_2 \sin x.