📝 题目
3．$x^{3} y^{\prime \prime \prime}+3 x^{2} y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+2 y=0$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 这是欧拉型常微分方程，形式为 $$ x^{3} y''' + 3x^{2} y'' - 2x y' + 2y = 0 $$ 我们采用变量代换法：令 $ x = e^{t} $，即 $ t = \ln x $，并设 $ y(x) = y(e^{t}) = Y(t) $。 则 $$ y' = \frac{dy}{dx} = \frac{dY}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{1}{x} \dot{Y} $$ 其中 $\dot{Y} = \frac{dY}{dt}$。 $$ y'' = \frac{d}{dx}\left( \frac{1}{x} \dot{Y} \right) = -\frac{1}{x^{2}} \dot{Y} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d\dot{Y}}{dx} $$ 而 $$ \frac{d\dot{Y}}{dx} = \frac{d\dot{Y}}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{1}{x} \ddot{Y} $$ 所以 $$ y'' = -\frac{1}{x^{2}} \dot{Y} + \frac{1}{x^{2}} \ddot{Y} = \frac{1}{x^{2}} (\ddot{Y} - \dot{Y}) $$ 再求三阶导： $$ y''' = \frac{d}{dx}\left( \frac{1}{x^{2}} (\ddot{Y} - \dot{Y}) \right) = -\frac{2}{x^{3}} (\ddot{Y} - \dot{Y}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{dx}(\ddot{Y} - \dot{Y}) $$ 而 $$ \frac{d}{dx}(\ddot{Y} - \dot{Y}) = \frac{d}{dt}(\ddot{Y} - \dot{Y}) \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x} (\dddot{Y} - \ddot{Y}) $$ 所以 $$ y''' = -\frac{2}{x^{3}} (\ddot{Y} - \dot{Y}) + \frac{1}{x^{3}} (\dddot{Y} - \ddot{Y}) = \frac{1}{x^{3}} \left( \dddot{Y} - 3\ddot{Y} + 2\dot{Y} \right) $$
代入原方程： $$ x^{3} \cdot \frac{1}{x^{3}} (\dddot{Y} - 3\ddot{Y} + 2\dot{Y}) + 3x^{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} (\ddot{Y} - \dot{Y}) - 2x \cdot \frac{1}{x} \dot{Y} + 2Y = 0 $$ 化简得： $$ \dddot{Y} - 3\ddot{Y} + 2\dot{Y} + 3\ddot{Y} - 3\dot{Y} - 2\dot{Y} + 2Y = 0 $$ 即 $$ \dddot{Y} + ( -3 + 3 )\ddot{Y} + (2 - 3 - 2)\dot{Y} + 2Y = 0 $$ $$ \dddot{Y} - 3\dot{Y} + 2Y = 0 $$
这是常系数三阶线性齐次方程，特征方程为 $$ r^{3} - 3r + 2 = 0 $$ 试根 $ r = 1 $： $$ 1 - 3 + 2 = 0 $$ 所以 $ (r-1) $ 是因子，做多项式除法： $$ r^{3} - 3r + 2 = (r-1)(r^{2} + r - 2) = (r-1)(r-1)(r+2) = (r-1)^{2}(r+2) $$ 特征根为 $ r = 1 $（二重根），$ r = -2 $。
因此通解为 $$ Y(t) = (C_{1} + C_{2} t) e^{t} + C_{3} e^{-2t} $$ 代回 $ t = \ln x $，得 $$ y(x) = (C_{1} + C_{2} \ln x) x + C_{3} x^{-2} $$
最终答案： $$ \boxed{y = C_{1} x + C_{2} x \ln x + \frac{C_{3}}{x^{2}}} $$
难度：★★☆☆☆