📝 题目
4．$x^{2} y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+2 y=\ln ^{2} x-2 \ln x$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答]
这是欧拉型微分方程，先作变量代换：令 $ x = e^t $，则 $ t = \ln x $，并且有 $$ x y' = \frac{dy}{dt}, \quad x^2 y'' = \frac{d^2 y}{dt^2} - \frac{dy}{dt}. $$ 代入原方程： $$ x^2 y'' - 2x y' + 2y = \left( \frac{d^2 y}{dt^2} - \frac{dy}{dt} \right) - 2 \frac{dy}{dt} + 2y = \frac{d^2 y}{dt^2} - 3 \frac{dy}{dt} + 2y. $$ 右边变为： $$ \ln^2 x - 2 \ln x = t^2 - 2t. $$ 于是原方程化为常系数线性微分方程： $$ y''(t) - 3 y'(t) + 2 y(t) = t^2 - 2t. $$
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**第一步：求齐次解** 特征方程： $$ r^2 - 3r + 2 = 0 \quad\Rightarrow\quad (r-1)(r-2)=0, $$ 解得 $ r_1 = 1, r_2 = 2 $。 齐次通解： $$ y_h(t) = C_1 e^{t} + C_2 e^{2t}. $$
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**第二步：求特解** 右边是二次多项式 $ t^2 - 2t $，设特解形式： $$ y_p(t) = A t^2 + B t + C. $$ 求导： $$ y_p' = 2A t + B, \quad y_p'' = 2A. $$ 代入方程： $$ 2A - 3(2A t + B) + 2(A t^2 + B t + C) = t^2 - 2t. $$ 整理： $$ 2A - 6A t - 3B + 2A t^2 + 2B t + 2C = t^2 - 2t. $$ 按幂次合并： - $ t^2 $ 项：$ 2A = 1 \Rightarrow A = \frac12 $ - $ t $ 项：$ -6A + 2B = -2 \Rightarrow -3 + 2B = -2 \Rightarrow 2B = 1 \Rightarrow B = \frac12 $ - 常数项：$ 2A - 3B + 2C = 0 \Rightarrow 1 - \frac32 + 2C = 0 \Rightarrow -\frac12 + 2C = 0 \Rightarrow C = \frac14 $
所以特解： $$ y_p(t) = \frac12 t^2 + \frac12 t + \frac14. $$
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**第三步：写出通解并回代** 通解： $$ y(t) = C_1 e^{t} + C_2 e^{2t} + \frac12 t^2 + \frac12 t + \frac14. $$ 回代 $ t = \ln x $，且 $ e^{t} = x, e^{2t} = x^2 $： $$ y(x) = C_1 x + C_2 x^2 + \frac12 \ln^2 x + \frac12 \ln x + \frac14. $$
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**最终答案**： $$ \boxed{y = C_1 x + C_2 x^2 + \frac12 \ln^2 x + \frac12 \ln x + \frac14} $$
难度：★★☆☆☆