📝 题目
5．$x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}-4 y=x^{3}$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求解欧拉型非齐次线性微分方程：
$$ x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}-4 y=x^{3} $$
**第一步：化为标准欧拉方程形式** 方程已经是 $$ x^{2} y'' + x y' - 4 y = x^{3} $$ 对应齐次方程为 $$ x^{2} y'' + x y' - 4 y = 0 $$
**第二步：求解齐次方程的通解** 设 $y = x^{r}$，则 $$ y' = r x^{r-1}, \quad y'' = r(r-1) x^{r-2} $$ 代入齐次方程： $$ x^{2} \cdot r(r-1) x^{r-2} + x \cdot r x^{r-1} - 4 x^{r} = 0 $$ 化简： $$ r(r-1) x^{r} + r x^{r} - 4 x^{r} = 0 $$ $$ \big[ r(r-1) + r - 4 \big] x^{r} = 0 $$ 即 $$ r^{2} - 4 = 0 \quad\Rightarrow\quad r = \pm 2 $$ 因此齐次通解为 $$ y_h = C_{1} x^{2} + C_{2} x^{-2} $$
**第三步：求非齐次方程的一个特解** 用常数变易法或待定系数法。由于非齐次项是 $x^{3}$，且 $3$ 不是特征根 $ \pm 2$，可设特解形式 $$ y_p = A x^{3} $$ 计算： $$ y_p' = 3A x^{2}, \quad y_p'' = 6A x $$ 代入原方程： $$ x^{2} (6A x) + x (3A x^{2}) - 4 (A x^{3}) = x^{3} $$ $$ 6A x^{3} + 3A x^{3} - 4A x^{3} = (6A+3A-4A)x^{3} = 5A x^{3} $$ 令 $5A = 1$，得 $A = \displaystyle{}\frac{1}{5}$。 所以特解 $$ y_p = \frac{1}{5} x^{3} $$
**第四步：写出通解** $$ y = y_h + y_p = C_{1} x^{2} + C_{2} x^{-2} + \frac{1}{5} x^{3} $$
**最终答案** $$ \boxed{y = C_{1} x^{2} + C_{2} x^{-2} + \frac{1}{5} x^{3}} $$
难度：★★☆☆☆ （属于标准欧拉方程类型，步骤固定，计算简单，但需注意特征根求解与待定系数法）