📝 题目
6．$x^{2} y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+4 y=x \sin (\ln x)$ ．
💡 答案与解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求解欧拉型非齐次线性微分方程 $$ x^{2} y^{\prime \prime} - x y^{\prime} + 4y = x \sin(\ln x). $$
**第一步：化为常系数方程** 令 $x = e^t$，即 $t = \ln x$，则 $$ y' = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{1}{x} \dot{y}, $$ $$ y'' = \frac{d}{dx}\left( \frac{1}{x} \dot{y} \right) = -\frac{1}{x^2} \dot{y} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d\dot{y}}{dx} = -\frac{1}{x^2} \dot{y} + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} \ddot{y} = \frac{1}{x^2}(\ddot{y} - \dot{y}). $$ 代入原方程： $$ x^2 \cdot \frac{1}{x^2}(\ddot{y} - \dot{y}) - x \cdot \frac{1}{x} \dot{y} + 4y = e^t \sin t, $$ 化简得： $$ \ddot{y} - \dot{y} - \dot{y} + 4y = e^t \sin t, $$ 即 $$ \ddot{y} - 2\dot{y} + 4y = e^t \sin t. $$
**第二步：解齐次方程** 特征方程： $$ r^2 - 2r + 4 = 0 \quad\Rightarrow\quad r = 1 \pm i\sqrt{3}. $$ 齐次通解： $$ y_h(t) = e^{t}\left( C_1 \cos(\sqrt{3} t) + C_2 \sin(\sqrt{3} t) \right). $$
**第三步：求非齐次特解** 右端项为 $e^t \sin t$，用待定系数法。设特解形式： $$ y_p(t) = e^t (A \cos t + B \sin t). $$ 计算： $$ \dot{y}_p = e^t (A \cos t + B \sin t) + e^t(-A \sin t + B \cos t) = e^t[(A+B)\cos t + (B-A)\sin t], $$ $$ \ddot{y}_p = e^t[(A+B)\cos t + (B-A)\sin t] + e^t[-(A+B)\sin t + (B-A)\cos t] = e^t[(2B)\cos t + (-2A)\sin t]. $$ 代入方程 $\ddot{y}_p - 2\dot{y}_p + 4y_p = e^t \sin t$：
先计算： $$ -2\dot{y}_p = -2e^t[(A+B)\cos t + (B-A)\sin t], $$ $$ 4y_p = 4e^t(A\cos t + B\sin t). $$ 合并 $\cos t$ 系数： $$ (2B) - 2(A+B) + 4A = 2B - 2A - 2B + 4A = 2A, $$ 合并 $\sin t$ 系数： $$ (-2A) - 2(B-A) + 4B = -2A -2B +2A +4B = 2B. $$ 所以左边为： $$ e^t(2A \cos t + 2B \sin t) = e^t \sin t. $$ 比较得： $$ 2A = 0,\quad 2B = 1 \quad\Rightarrow\quad A=0,\ B=\frac12. $$ 因此特解： $$ y_p(t) = \frac12 e^t \sin t. $$
**第四步：回代到 $x$** 由 $t = \ln x$，$e^t = x$，得： $$ y(x) = x\left[ C_1 \cos(\sqrt{3} \ln x) + C_2 \sin(\sqrt{3} \ln x) \right] + \frac12 x \sin(\ln x). $$
**最终答案：** $$ \boxed{y(x)=x\left[ C_1 \cos(\sqrt{3} \ln x) + C_2 \sin(\sqrt{3} \ln x) \right] + \frac12 x \sin(\ln x)} $$
难度：★★★☆☆ （涉及欧拉方程变换、复特征根、待定系数法，中等难度）