三角级数、三角函数系的正交性

第122题

设 $p>0$ 为常数，正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{2 n+1} \sin \frac{1}{n^{p}}$
（A）绝对收敛．
（B）条件收敛。
（C）发散．
（D）收敛性与 $p$ 的取值相关．

第128题

设二阶常系数齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+y=0$ 的每一个解 $y(x)$ 都在区间（0， $+\infty)$ 上有界，则实数 $b$ 的取值范围是
（A）$[0,+\infty)$ ．
（B）$(-\infty, 0)$ ．
（C）$(-\infty, 2)$ ．
（D）$(-\infty,+\infty)$ ．

第129题

如果二阶常系数非齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=\mathrm{e}^{-x} \cos x$ 有一个特解 $y^{*}= \mathrm{e}^{-x}(x \cos x+x \sin x)$ ，则
（A）$a=-1, b=1$ ．
（B）$a=1, b=-1$ ．
（C）$a=2, b=1$ ．
（D）$a=2, b=2$ ．

第138题

证明：当 $0<x<1$ 时，$\displaystyle \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}<\frac{\ln (1+x)}{\arcsin x}$ ．

第142题

证明：在区间 $\displaystyle \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上存在三个不同的点 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，使得

$\displaystyle \left[\mathrm{e}^{-x_{1}}\left(\cos x_{1}-\sin x_{1}\right)\right] x_{3}=\left[\mathrm{e}^{-x_{2}}\left(\cos x_{2}-\sin x_{2}\right)\right]\left(\frac{\pi}{2}-x_{3}\right) .$

第60题

方程 $y^{\prime \prime}-y=\mathrm{e}^{x}+4 \cos x$ 的通解为 $\_\_\_\_$ ．

## 选择题

第64题

设 $\alpha_{1}=\ln (1+x)+\ln (1-x), \alpha_{2}=2^{x^{4}+x}-1, \alpha_{3}=\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}$ ．当 $x \rightarrow 0$
时，以上 3 个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是
（A）$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ ．
（B）$\alpha_{2}, \alpha_{1}, \alpha_{3}$.
（C）$\alpha_{1}, \alpha_{3}, \alpha_{2}$ ．
（D）$\alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{1}$ ．

第77题

设 $\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{4}, f(x)=\frac{\tan x}{x}, g(x)=\left(\frac{\tan x}{x}\right)^{2}, h(x)=\frac{\tan x^{2}}{x^{2}}$ ，以下结论正确的是
（A）$f(x)>g(x)>h(x)$ ．
（B）$h(x)>g(x)>f(x)$ ．
（C）$g(x)>f(x)>h(x)$ ．
（D）$f(x)>h(x)>g(x)$ ．