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已知 $f^{\prime}(x) \cdot \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=8$ ，且 $f(0)=0, f(x) \geqslant 0$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
已知函数 $\displaystyle f(x)=\frac{\int_{0}^{x}|\sin t| \mathrm{d} t}{x^{\alpha}}$ 在 $(0,+\infty)$ 上有界，则 $\alpha$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．
在区间 $(0,1)$ 中随机地取出两个数，则＂两数之积小于 $\displaystyle \frac{1}{2}$＂的概率为 $\_\_\_\_$ ．
若函数 $f(x)$ 满足微分方程 $f^{\prime \prime}(x)+a f^{\prime}(x)+f(x)=0$ ，其中 $a=2 \int_{0}^{2} \sqrt{2 x-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ， $f(0)=\alpha, f^{\prime}(0)=\beta$ ，则 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
假设随机变量 $X$ 在 $[-1,1]$ 上服从均匀分布，$a$ 是区间 $[-1,1]$ 上的一个定点，$Y$ 为点 $X$ 到 $a$ 的距离，当 $a=$ $\_\_\_\_$时，随机变量 $X$ 与 $Y$ 不相关．
已知随机变量 $X$ 在 $(1,2)$ 上服从均匀分布，在 $X=x(1<x<2)$ 的条件下 $Y$ 服从参数为 $x$ 的指数分布，则 $E(X Y)=$ $\_\_\_\_$。
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管甄域 | | －组䊗 | | | | |
曲线 $y=\mathrm{e}^{-x} \sqrt{\sin x}(x \geqslant 0)$ 与 $x$ 轴围成绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体体积为 $\_\_\_\_$。
曲线 $y=x^{2}, x$ 轴与 $x=1$ 围成的曲边三角形绕 $x$ 轴旋转一周产生的旋转体的形心 $x$ 坐标等于 $\_\_\_\_$ ．
设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}2 x, & 0<x<1, \\ 0, & \text { 其他．}\end{array} F(x)\right.$ 为 $X$ 的分布函数，则随机变量 $Y=[F(X)]^{2}$ 的数学期望 $E Y$ 为
（A）$\displaystyle \frac{1}{4}$ ．
（B）$\displaystyle \frac{1}{3}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ．
（D） 1 ．
常数 $a>0$ ，心形线 $r=a(1+\cos \theta)$ 一周的长度 $=$ $\_\_\_\_$ ．
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立，$X \sim N(0,1), Y \sim U[0,1], Z=X+Y$ ，求 $Z$ 的概率密度函数 $f_{Z}(z)$ ．
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 独立同分布，已知 $X \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ ，求 $Z=\min (X, Y)$ 的数学期望 $E(Z)$ ．
设随机变量 $X_{1}, X_{2}$ 相互独立，$X_{1} \sim E(1), X_{2} \sim E(\lambda)(\lambda>0)$ 。令 $Y=\min \left\{X_{1}, X_{2}\right\}$ ， $Z=\max \left\{X_{1}, 1\right\}$ ．
求：（1）$Y$ 的概率密度 $f_{Y}(y)$ ；
（2）$P\left\{\left|X_{1}\right|>2 \mid X_{1}>1\right\}$ ；
（3）$Z$ 的数学期望 $E(Z)$ ．
设 $X \sim N(0,1)$ ，试证：$E\left(X^{k}\right)=\left\{\begin{array}{cl}(k-1)(k-3) \cdots 1, & k \text { 为正偶数，} \\ 0, & k \text { 为正奇数．}\end{array}\right.$
设总体 $X$ 的概率密度为
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}
$\displaystyle \frac{6 x}{\theta^{3}}(\theta-x), & 0<x<\theta, \\$
0, & \text { 其他, }
$\end{array}\right.$
$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的样本，试求
（1）$\theta$ 的矩估计量 $\hat{\theta} ;$（2）$\hat{\theta}$ 的方差 $D(\hat{\theta})$ ．
函数 $f(x, y)$ 满足 $f(1,1)=0$ ，且 $f_{x}^{\prime}(x, y)=2 x-2 x y^{2}, f_{y}^{\prime}(x, y)=4 y-2 x^{2} y$ ，则函数 $f(x, y)$ 的极小值为 $\_\_\_\_$ ．
设 $z(x, y)=\int_{0}^{x} \mathrm{~d} t \int_{t}^{x} f(t+y) g(y u) \mathrm{d} u$ ，其中 $f$ 连续，$g$ 有连续的一阶导数，则 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=$
$\_\_\_\_$ ．
设 $\Omega$ 是由 $z=x^{2}+y^{2}$ 和 $z=1$ 所围成的空间体，则 $I=\iiint_{\Omega}(x+2 y+z)^{2} \mathrm{~d} v=$
$\_\_\_\_$ ．
有一金属丝呈半圆形 $L:\left\{\begin{array}{l}x=a \cos t \\ y=a \sin t\end{array}(0 \leqslant t \leqslant \pi)\right.$ ，其上每一点的密度都等于该点的纵坐标，则该金属丝的质量为 $\_\_\_\_$ ．
已知 $f(x)$ 是微分方程 $x f^{\prime}(x)-f(x)=\sqrt{2 x-x^{2}}$ 满足初始条件 $f(1)=0$ 的特解，则积分 $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
原函数与不定积分的概念
第 24 题
第24题
已知 $f^{\prime}(x) \cdot \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=8$ ，且 $f(0)=0, f(x) \geqslant 0$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
第 25 题
第25题
已知函数 $\displaystyle f(x)=\frac{\int_{0}^{x}|\sin t| \mathrm{d} t}{x^{\alpha}}$ 在 $(0,+\infty)$ 上有界，则 $\alpha$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．
第 259 题
第259题
在区间 $(0,1)$ 中随机地取出两个数，则＂两数之积小于 $\displaystyle \frac{1}{2}$＂的概率为 $\_\_\_\_$ ．
第 26 题
第26题
若函数 $f(x)$ 满足微分方程 $f^{\prime \prime}(x)+a f^{\prime}(x)+f(x)=0$ ，其中 $a=2 \int_{0}^{2} \sqrt{2 x-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ， $f(0)=\alpha, f^{\prime}(0)=\beta$ ，则 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
第 270 题
第270题
假设随机变量 $X$ 在 $[-1,1]$ 上服从均匀分布，$a$ 是区间 $[-1,1]$ 上的一个定点，$Y$ 为点 $X$ 到 $a$ 的距离，当 $a=$ $\_\_\_\_$时，随机变量 $X$ 与 $Y$ 不相关．
第 271 题
第271题
已知随机变量 $X$ 在 $(1,2)$ 上服从均匀分布，在 $X=x(1<x<2)$ 的条件下 $Y$ 服从参数为 $x$ 的指数分布，则 $E(X Y)=$ $\_\_\_\_$。
| 问 | | | | | | |
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管甄域 | | －组䊗 | | | | |
第 28 题
第28题
曲线 $y=\mathrm{e}^{-x} \sqrt{\sin x}(x \geqslant 0)$ 与 $x$ 轴围成绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体体积为 $\_\_\_\_$。
第 29 题
第29题
曲线 $y=x^{2}, x$ 轴与 $x=1$ 围成的曲边三角形绕 $x$ 轴旋转一周产生的旋转体的形心 $x$ 坐标等于 $\_\_\_\_$ ．
第 299 题
第299题
设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}2 x, & 0<x<1, \\ 0, & \text { 其他．}\end{array} F(x)\right.$ 为 $X$ 的分布函数，则随机变量 $Y=[F(X)]^{2}$ 的数学期望 $E Y$ 为
（A）$\displaystyle \frac{1}{4}$ ．
（B）$\displaystyle \frac{1}{3}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ．
（D） 1 ．
第 30 题
第30题
常数 $a>0$ ，心形线 $r=a(1+\cos \theta)$ 一周的长度 $=$ $\_\_\_\_$ ．
第 311 题
第311题
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立，$X \sim N(0,1), Y \sim U[0,1], Z=X+Y$ ，求 $Z$ 的概率密度函数 $f_{Z}(z)$ ．
第 316 题
第316题
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 独立同分布，已知 $X \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ ，求 $Z=\min (X, Y)$ 的数学期望 $E(Z)$ ．
第 319 题
第319题
设随机变量 $X_{1}, X_{2}$ 相互独立，$X_{1} \sim E(1), X_{2} \sim E(\lambda)(\lambda>0)$ 。令 $Y=\min \left\{X_{1}, X_{2}\right\}$ ， $Z=\max \left\{X_{1}, 1\right\}$ ．
求：（1）$Y$ 的概率密度 $f_{Y}(y)$ ；
（2）$P\left\{\left|X_{1}\right|>2 \mid X_{1}>1\right\}$ ；
（3）$Z$ 的数学期望 $E(Z)$ ．
第 322 题
第322题
设 $X \sim N(0,1)$ ，试证：$E\left(X^{k}\right)=\left\{\begin{array}{cl}(k-1)(k-3) \cdots 1, & k \text { 为正偶数，} \\ 0, & k \text { 为正奇数．}\end{array}\right.$
第 327 题
第327题
设总体 $X$ 的概率密度为
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}
$\displaystyle \frac{6 x}{\theta^{3}}(\theta-x), & 0<x<\theta, \\$
0, & \text { 其他, }
$\end{array}\right.$
$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的样本，试求
（1）$\theta$ 的矩估计量 $\hat{\theta} ;$（2）$\hat{\theta}$ 的方差 $D(\hat{\theta})$ ．
第 38 题
第38题
函数 $f(x, y)$ 满足 $f(1,1)=0$ ，且 $f_{x}^{\prime}(x, y)=2 x-2 x y^{2}, f_{y}^{\prime}(x, y)=4 y-2 x^{2} y$ ，则函数 $f(x, y)$ 的极小值为 $\_\_\_\_$ ．
第 40 题
第40题
设 $z(x, y)=\int_{0}^{x} \mathrm{~d} t \int_{t}^{x} f(t+y) g(y u) \mathrm{d} u$ ，其中 $f$ 连续，$g$ 有连续的一阶导数，则 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=$
$\_\_\_\_$ ．
第 45 题
第45题
设 $\Omega$ 是由 $z=x^{2}+y^{2}$ 和 $z=1$ 所围成的空间体，则 $I=\iiint_{\Omega}(x+2 y+z)^{2} \mathrm{~d} v=$
$\_\_\_\_$ ．
第 46 题
第46题
有一金属丝呈半圆形 $L:\left\{\begin{array}{l}x=a \cos t \\ y=a \sin t\end{array}(0 \leqslant t \leqslant \pi)\right.$ ，其上每一点的密度都等于该点的纵坐标，则该金属丝的质量为 $\_\_\_\_$ ．
第 55 题
第55题
已知 $f(x)$ 是微分方程 $x f^{\prime}(x)-f(x)=\sqrt{2 x-x^{2}}$ 满足初始条件 $f(1)=0$ 的特解，则积分 $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．