拉格朗日中值定理

第107题

设函数 $f(x, y)$ 可微，且 $f(0,0)=0, f(2,1)>3, f_{y}^{\prime}(x, y)<0$ ，则至少存在一点 （ $x_{0}, y_{0}$ ），使
（A）$f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)<1$ ．
（B）$f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)<-3$ ．
（C）$\displaystyle f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)=\frac{3}{2}$ ．
（D）$\displaystyle f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)>\frac{3}{2}$ ．

第144题

设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上存在二阶导数，且 $f(0)=f(1)=0$ ．试证明至少存在一点 $\xi \in (0,1)$ ，使

$\left|f^{\prime \prime}(\xi)\right| \geqslant 8 \max _{0 \leqslant x \leqslant 1}|f(x)| .$

第157题

设 $x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0, x+y+z=\pi$ ，求函数 $f(x, y, z)=2 \cos x+3 \cos y+4 \cos z$ 的最大值和最小值。

第62题

若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{a}}{(n+1)^{b}-n^{b}}=2023$ ，则
（A）$\displaystyle a=-\frac{2022}{2023}, b=\frac{1}{2023}$ ．
（B）$\displaystyle a=\frac{2022}{2023}, b=-\frac{1}{2023}$ ．
（C）$\displaystyle a=\frac{2022}{2023}, b=\frac{1}{2023}$ ．
（D）$\displaystyle a=-\frac{2022}{2023}, b=-\frac{1}{2023}$ ．

第78题

设函数 $f(x)$ 在 $[1,2]$ 上有二阶导数，$f(1)=f(2)=0, F(x)=(x-1)^{2} f(x)$ ，则 $F^{\prime \prime}(x)$ 在 $(1,2)$ 内
（A）没有零点．
（B）至少有一个零点．
（C）有两个零点。
（D）有且仅有一个零点．