边缘概率密度（连续型）

第261题

设 $(X, Y)$ 的概率密度为 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{lc}1, & 0 \leqslant y \leqslant x \leqslant 2-y, \\ 0, & \text { 其他．}\end{array}\right.$则 $X$ 的边缘概率密度为 $\_\_\_\_$。

第290题

设连续型随机变量 $X$ 的分布函数

F(x)=\left\{\begin{array}{cc}
A+B \mathrm{e}^{-\lambda x}, & x>0, \\
0, & x \leqslant 0
$\end{array} \quad(\lambda>0),\right.$

则 $P\{-1 \leqslant X<1\}=$
（A） $\mathrm{e}^{\lambda}-\mathrm{e}^{-\lambda}$ ．
（B） $1-\mathrm{e}^{-\lambda}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{1}{2}\left(1+\mathrm{e}^{-\lambda}\right)$ ．
（D）$\displaystyle \frac{1}{2}\left(1+\mathrm{e}^{\lambda}\right)$ ．

第313题

二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为 $f(x, y),-\infty<x<+\infty,-\infty<y<+\infty$ ．
已知 $X$ 的密度

f_{X}(x)=\left\{\begin{array}{lc}
1, & 0<x<1, ~ \\
0, & \text { 其他. }
$\end{array}\right.$

当 $0<x<1$ 时，条件概率密度

f_{Y \mid X}(y \mid x)=\left\{\begin{array}{cc}
$\displaystyle \frac{1}{x}, & 0<y<x, ~ \\$
0, & \text { 其他. }
$\end{array}\right.$

求 $f(x, y),-\infty<x<+\infty,-\infty<y<+\infty$ ．

第314题

设二维连续型随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为

f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}
$\displaystyle \frac{k}{2} x \mathrm{e}^{-(x+y)}, & x>0, y>0, ~ \\$
0, & \text { 其他. }
$\end{array}\right.$

（1）求常数 $k$ ；
（2）求 $(X, Y)$ 关于 $X$ 和关于 $Y$ 的边缘概率密度；
（3）判断随机变量 $X$ 和 $Y$ 是否相互独立．