幂级数的运算（逐项积分、逐项求导）

【强化篇】第15题（解答题）

15．设 $a_{n}$ 表示由曲线 $y=x^{n}$ 与 $y=x^{n+1}$ 所围成的平面图形的面积，$n=1,2, \cdots$ ．
（1）求晽级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛域与和函数 $S(x)$ ；
（2）求数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n(n+1) 2^{n}}$ 的和．

第189题

积分 $\displaystyle I=\int_{0}^{1} \frac{x^{4}}{\sqrt{1-x}} \mathrm{~d} x=$
（A）$\displaystyle \frac{156}{315}$ ．
（B）$\displaystyle \frac{256}{315}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{198}{315}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{208}{315}$ ．

【强化篇】第35题（解答题）

35．求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n(2 n-1)}$ 的和．

第584题

幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{2 n+1}{(2 n)!} x^{2 n}$ 的和函数 $S(x)=$ $\_\_\_\_$ $(x \in$ $\_\_\_\_$ ）．

第631题

若 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛域是 $(-8,8]$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{a_{n} x^{n}}{n(n-1)}$ 的收敛半径及 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{3 n}$ 的收敛域分别是
（A） $8,(-2,2]$ ．
（B） $8,[-2,2]$ ．
（C） $4,(-2,2]$ ．
（D） $8,[-2,2)$ ．

第633题

幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n(n+1)}$ 的和函数 $S(x)=$
（A） $\displaystyle \ln (1-x)+\frac{1}{x} \ln (1-x)+1 \quad(-1 \leqslant x<1, x \neq 0)$ ．
（B） $\displaystyle \ln (1+x)+\frac{1}{x} \ln (1-x)+1 \quad(-1<x<1, x \neq 0)$ ．
（C）$\displaystyle -\ln (1-x)+\frac{1}{x} \ln (1-x)+1 \quad(-1 \leqslant x<1, x \neq 0)$ ．
（D）$\displaystyle -\ln (1-x)+\frac{1}{x} \ln (1+x)+1 \quad(-1<x<1, x \neq 0)$ ．

## 第633题 (高等数学 - 选择题)
幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n(n+1)}$ 的和函数 $S(x)=$
（A） $\displaystyle \ln (1-x)+\frac{1}{x} \ln (1-x)+1 \quad(-1 \leqslant x<1, x \neq 0)$ ．
（B） $\displaystyle \ln (1+x)+\frac{1}{x} \ln (1-x)+1 \quad(-1<x<1, x \neq 0)$ ．
（C）$\displaystyle -\ln (1-x)+\frac{1}{x} \ln (1-x)+1 \quad(-1 \leqslant x<1, x \neq 0)$ ．
（D）$\displaystyle -\ln (1-x)+\frac{1}{x} \ln (1+x)+1 \quad(-1<x<1, x \neq 0)$ ．

【强化篇】第9题（解答题）

9．设 $n$ 为正整数，$y=y_{n}(x)$ 是微分方程 $x y^{\prime}-n y=0$ 满足条件 $y_{n}(1)=(n+1)(n+3)$ 的解。
（1）求 $y_{n}(x)$ ；
（2）求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} y_{n}(x)$ 的收敛域及和函数．