kaoyan1advanced 高等数学 第115题

教材习题

📝 题目

第115题

下列四个曲线积分中，在$0（A） $\displaystyle \int_{C} \frac{y \mathrm{~d} x-x \mathrm{~d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ．
（B） $\displaystyle \int_{C} \frac{(x-y) \mathrm{d} x+(x+y) \mathrm{d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ．
（C） $\displaystyle \int_{C} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{4 x^{2}+y^{2}}$ ．
（D） $\displaystyle \int_{C} \frac{x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ．

💡 答案解析

答案：D
解析：步骤1：曲线积分与路径无关等价于$\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$在区域单连通且偏导连续。
步骤2：对于(A)，$\displaystyle P=\frac{y}{x^2+y^2}, Q=-\frac{x}{x^2+y^2}$，$\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}, \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}$，相等，但原点处不连续，区域非单连通，故与路径有关。
步骤3：对于(B)，$\displaystyle P=\frac{x-y}{x^2+y^2}, Q=\frac{x+y}{x^2+y^2}$，$\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{y^2-x^2-2xy}{(x^2+y^2)^2}, \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{-x^2+y^2-2xy}{(x^2+y^2)^2}$，相等，但原点奇点，与路径有关。
步骤4：对于(C)，$\displaystyle P=-\frac{y}{4x^2+y^2}, Q=\frac{x}{4x^2+y^2}$，$\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{4x^2+y^2-8x^2}{(4x^2+y^2)^2}=\frac{y^2-4x^2}{(4x^2+y^2)^2}, \frac{\partial P}{\partial y}=-\frac{4x^2+y^2-2y^2}{(4x^2+y^2)^2}=-\frac{4x^2-y^2}{(4x^2+y^2)^2}$，不相等，故与路径有关。
步骤5：对于(D)，$\displaystyle P=\frac{x}{x^2+y^2}, Q=\frac{y}{x^2+y^2}$，$\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}, \frac{\partial P}{\partial y}=-\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}$，相等，且原函数为$\displaystyle \frac{1}{2}\ln(x^2+y^2)$，在区域$0难度：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/6
目标：步骤1：理解曲线积分与路径无关的条件
曲线积分 $\int_C P\,dx+Q\,dy$ 在区域 $D$ 内与路径无关的充要条件是：在 $D$ 内处处有 $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$，且 $D$ 是单连通区域，$P,Q$ 具有连续偏导数。本题区域为 $0
公式：$$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$$
提示：注意区域非单连通时需额外判断
步骤 2/6
目标：步骤2：分析选项(A)
对于(A)，$P = \frac{y}{x^2+y^2}$，$Q = -\frac{x}{x^2+y^2}$。计算偏导数： $$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{-(x^2+y^2) + x \cdot 2x}{(x^2+y^2)^2} = \frac{x^2 - y^2}{(x^2+y^2)^2}$$ $$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{(x^2+y^2) - y \cdot 2y}{(x^2+y^2)^2} = \frac{x^2 - y^2}{(x^2+y^2)^2}$$ 两者相等，但原点处 $P,Q$ 不连续，区域非单连通，故与路径有关。
公式：$$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{x^2 - y^2}{(x^2+y^2)^2}, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{x^2 - y^2}{(x^2+y^2)^2}$$
提示：注意区域非单连通时偏导相等仍可能路径相关
步骤 3/6
目标：步骤3：分析选项(B)
对于(B)，$P = \frac{x-y}{x^2+y^2}$，$Q = \frac{x+y}{x^2+y^2}$。计算偏导数： $$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{(x^2+y^2) - (x+y)\cdot 2x}{(x^2+y^2)^2} = \frac{y^2 - x^2 - 2xy}{(x^2+y^2)^2}$$ $$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{-(x^2+y^2) - (x-y)\cdot 2y}{(x^2+y^2)^2} = \frac{-x^2 + y^2 - 2xy}{(x^2+y^2)^2}$$ 两者相等，但同样因原点奇点且区域非单连通，与路径有关。
公式：$$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{y^2 - x^2 - 2xy}{(x^2+y^2)^2}, \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{-x^2 + y^2 - 2xy}{(x^2+y^2)^2}$$
提示：注意奇点导致非单连通区域
步骤 4/6
目标：步骤4：分析选项(C)
对于(C)，$P = -\frac{y}{4x^2+y^2}$，$Q = \frac{x}{4x^2+y^2}$。计算偏导数： $$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{(4x^2+y^2) - x\cdot 8x}{(4x^2+y^2)^2} = \frac{y^2 - 4x^2}{(4x^2+y^2)^2}$$ $$\frac{\partial P}{\partial y} = -\frac{(4x^2+y^2) - y\cdot 2y}{(4x^2+y^2)^2} = -\frac{4x^2 - y^2}{(4x^2+y^2)^2} = \frac{y^2 - 4x^2}{(4x^2+y^2)^2}$$ 两者相等，但区域非单连通，且原点为奇点，故与路径有关。
公式：$$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{y^2 - 4x^2}{(4x^2+y^2)^2}, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{y^2 - 4x^2}{(4x^2+y^2)^2}$$
提示：偏导相等但区域非单连通，需检查奇点
步骤 5/6
目标：步骤5：分析选项(D)
对于(D)，$P = \frac{x}{x^2+y^2}$，$Q = \frac{y}{x^2+y^2}$。计算偏导数： $$\frac{\partial Q}{\partial x} = -\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}$$ $$\frac{\partial P}{\partial y} = -\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}$$ 两者相等。且存在原函数 $F(x,y) = \frac{1}{2}\ln(x^2+y^2)$，在区域 $0
公式：$$\frac{\partial Q}{\partial x} = -\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}, \frac{\partial P}{\partial y} = -\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}$$
提示：注意区域包含原点，但积分与路径无关需检查闭曲线是否包围原点
步骤 6/6
目标：步骤6：得出结论
综合以上分析，只有选项(D)满足曲线积分与路径无关的条件。因此答案为D。
提示：注意区域为复连通区域，需验证偏导相等且无奇点。

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