kaoyan1advanced 高等数学 第159题
📝 题目
第159题
已知 $u=u(x, y)$ 满足方程 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}=0$ ，试确定参数 $a$ 和 $b$ ，使原方程在变换 $u=v(x, y) \mathrm{e}^{a x+b y}$ 下不出现一阶偏导数项．
💡 答案解析
答案：$\displaystyle a = \frac{1}{2}, b = -\frac{1}{2}$
解析：
步骤1：设 $u = v e^{ax+by}$，计算一阶偏导：
$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} = e^{ax+by}(v_x + a v)$, $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y} = e^{ax+by}(v_y + b v)$。
步骤2：计算二阶偏导：
$\displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = e^{ax+by}(v_{xx} + 2a v_x + a^2 v)$,
$\displaystyle \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = e^{ax+by}(v_{yy} + 2b v_y + b^2 v)$。
步骤3：代入原方程，消去 $e^{ax+by}$ 得：
$(v_{xx} - v_{yy}) + (2a+1)v_x + (-2b+1)v_y + (a^2 - b^2 + a + b)v = 0$。
步骤4：令一阶偏导项系数为零：
$\displaystyle 2a+1=0 \Rightarrow a = -\frac{1}{2}$, $\displaystyle -2b+1=0 \Rightarrow b = \frac{1}{2}$。
难度：★★★☆☆