kaoyan1advanced 概率论与数理统计 第301题

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📝 题目

第301题

设 $X_{1}, \cdots, X_{n}$ 是取自正态总体 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ 的简单随机样本，其均值和方差分别为 $\bar{X}$ ， $S^{2}$ ，则可以作出服从自由度为 $n$ 的 $\chi^{2}$ 分布的统计量为
（A）$\displaystyle \frac{\bar{X}^{2}}{\sigma^{2}}+\frac{(n-1) S^{2}}{\sigma^{2}}$ ．
（B）$\displaystyle \frac{n \bar{X}^{2}}{\sigma^{2}}+\frac{(n-1) S^{2}}{\sigma^{2}}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{(\bar{X}-\mu)^{2}}{\sigma^{2}}+\frac{(n-1) S^{2}}{\sigma^{2}}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{n(\bar{X}-\mu)^{2}}{\sigma^{2}}+\frac{(n-1) S^{2}}{\sigma^{2}}$ ．

💡 答案解析

答案：D
解析：步骤1：$\displaystyle \frac{n(\bar{X}-\mu)^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(1)$，$\displaystyle \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$，且两者独立。
步骤2：由$\chi^2$分布可加性，$\displaystyle \frac{n(\bar{X}-\mu)^2}{\sigma^2} + \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n)$。
难度：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/6
目标：步骤1：分析样本均值的分布
由于 $X_1,\ldots,X_n$ 来自正态总体 $N(\mu,\sigma^2)$，样本均值 $\bar{X} \sim N(\mu, \sigma^2/n)$。因此 $\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)$，平方得 $\frac{n(\bar{X}-\mu)^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(1)$。
公式：$$\frac{n(\bar{X}-\mu)^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(1)$$
提示：注意样本均值方差为σ²/n
步骤 2/6
目标：步骤2：分析样本方差的分布
样本方差 $S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2$，且 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$。
公式：$$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$$
提示：注意分母是n-1，不是n
步骤 3/6
目标：步骤3：判断独立性
对于正态总体，样本均值 $\bar{X}$ 与样本方差 $S^2$ 相互独立，因此 $\frac{n(\bar{X}-\mu)^2}{\sigma^2}$ 与 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$ 也相互独立。
提示：注意独立性的前提是正态总体
步骤 4/6
目标：步骤4：应用卡方分布的可加性
由卡方分布的性质：若 $U \sim \chi^2(a)$，$V \sim \chi^2(b)$ 且独立，则 $U+V \sim \chi^2(a+b)$。这里 $a=1$，$b=n-1$，所以 $\frac{n(\bar{X}-\mu)^2}{\sigma^2} + \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n)$。
公式：$$U \sim \chi^2(a), V \sim \chi^2(b) \text{ 且独立} \Rightarrow U+V \sim \chi^2(a+b)$$
提示：注意独立性和自由度相加
步骤 5/6
目标：步骤5：对比选项
选项 (D) 为 $\frac{n(\bar{X}-\mu)^2}{\sigma^2}+\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$，符合上述推导。其他选项或缺少 $\mu$ 或系数错误，不满足自由度为 $n$ 的卡方分布。
提示：注意卡方分布的自由度
步骤 6/6
目标：步骤6：得出答案
因此，服从自由度为 $n$ 的 $\chi^2$ 分布的统计量为选项 (D)。
提示：注意自由度与样本量关系

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