kaoyan1advanced 高等数学 第51题
📝 题目
第51题
若幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a^{n^{2}} x^{n}(a>0)$ 的收敛域为 $(-\infty,+\infty)$ ，则 $a$ 应满足 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
好的，我们先把题目抄下来，然后逐步分析。题目是：
若幂级数
$$
\sum_{n=1}^{\infty} a^{n^{2}} x^{n} \quad (a>0)
$$
的收敛域为 $(-\infty,+\infty)$，则 $a$ 应满足什么条件。
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第一步：回忆收敛半径的求法
对于幂级数
$$
\sum_{n=1}^{\infty} c_n x^n
$$
收敛半径 $R$ 可以用根值法或比值法来求。这里系数是
$$
c_n = a^{n^2}
$$
所以我们可以用根值判别法（Cauchy-Hadamard公式）：
收敛半径
$$
\frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_n|}
$$
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第二步：计算极限
$$
\sqrt[n]{|c_n|} = \sqrt[n]{a^{n^2}} = a^{n}
$$
当 $n \to \infty$ 时，
- 如果 $a > 1$，则 $a^n \to \infty$，那么 $1/R = \infty$，即 $R = 0$，只在 $x=0$ 收敛。
- 如果 $a = 1$，则 $a^n = 1$，那么 $1/R = 1$，即 $R=1$，收敛域是 $(-1,1)$ 加上可能端点。
- 如果 $0 < a < 1$，则 $a^n \to 0$，那么 $1/R = 0$，即 $R = \infty$，收敛域是整个实数轴。
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第三步：根据题意确定条件
题目说收敛域是 $(-\infty, +\infty)$，也就是 $R = \infty$，所以必须
$$
0 < a < 1
$$
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最终答案：
$$
\boxed{0
这样就完成了。