kaoyan1advanced 高等数学 第100题

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📝 题目

第100题

设 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 为非零向量，且 $\displaystyle |\boldsymbol{b}|=1,\langle\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}\rangle=\frac{\pi}{3}$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{|\boldsymbol{a}+x \boldsymbol{b}|-|\boldsymbol{a}|}{\mathrm{e}^{x}-1}=$
（A） 0 ．
（B）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ．
（C）$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$ ．
（D）$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

💡 答案解析

答案：D
解析：
$|\boldsymbol{a}+x \boldsymbol{b}| = \sqrt{|\boldsymbol{a}|^{2}+2x\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+x^{2}}$，$\displaystyle \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}|\cdot1\cdot\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}|\boldsymbol{a}|$。
原极限$\displaystyle =\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{|\boldsymbol{a}|^{2}+x|\boldsymbol{a}|+x^{2}}-|\boldsymbol{a}|}{x}$（利用$\mathrm{e}^{x}-1\sim x$）
$\displaystyle =\lim_{x\to0}\frac{x|\boldsymbol{a}|+x^{2}}{x(\sqrt{|\boldsymbol{a}|^{2}+x|\boldsymbol{a}|+x^{2}}+|\boldsymbol{a}|)}=\frac{|\boldsymbol{a}|}{2|\boldsymbol{a}|}=\frac{1}{2}$。
难度：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/6
目标：计算向量点积
由已知条件，$|\boldsymbol{b}|=1$，$\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=\frac{\pi}{3}$，则$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}|\cdot1\cdot\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}|\boldsymbol{a}|$。
公式：$$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle$$
提示：注意向量夹角为π/3，cos值为1/2
步骤 2/6
目标：写出模长表达式
$|\boldsymbol{a}+x\boldsymbol{b}|=\sqrt{|\boldsymbol{a}|^{2}+2x\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+x^{2}}=\sqrt{|\boldsymbol{a}|^{2}+x|\boldsymbol{a}|+x^{2}}$。
公式：$$|\boldsymbol{a}+x\boldsymbol{b}|=\sqrt{|\boldsymbol{a}|^{2}+2x\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+x^{2}}$$
提示：注意向量点积的符号和模长公式
步骤 3/6
目标：等价无穷小替换分母
当$x\to0$时，$\mathrm{e}^{x}-1\sim x$，所以原极限化为： $$\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{|\boldsymbol{a}|^{2}+x|\boldsymbol{a}|+x^{2}}-|\boldsymbol{a}|}{x}$$。
公式：$$\mathrm{e}^{x}-1\sim x$$
提示：注意分母替换后需保持极限形式
步骤 4/6
目标：分子有理化
分子分母同乘$\sqrt{|\boldsymbol{a}|^{2}+x|\boldsymbol{a}|+x^{2}}+|\boldsymbol{a}|$，得： $$\lim_{x\to0}\frac{(|\boldsymbol{a}|^{2}+x|\boldsymbol{a}|+x^{2})-|\boldsymbol{a}|^{2}}{x\left(\sqrt{|\boldsymbol{a}|^{2}+x|\boldsymbol{a}|+x^{2}}+|\boldsymbol{a}|\right)}=\lim_{x\to0}\frac{x|\boldsymbol{a}|+x^{2}}{x\left(\sqrt{|\boldsymbol{a}|^{2}+x|\boldsymbol{a}|+x^{2}}+|\boldsymbol{a}|\right)}$$。
公式：$$\lim_{x\to0}\frac{(|\boldsymbol{a}|^{2}+x|\boldsymbol{a}|+x^{2})-|\boldsymbol{a}|^{2}}{x\left(\sqrt{|\boldsymbol{a}|^{2}+x|\boldsymbol{a}|+x^{2}}+|\boldsymbol{a}|\right)}$$
提示：注意分子有理化时符号变化
步骤 5/6
目标：约去x并求极限
约去$x$，得： $$\lim_{x\to0}\frac{|\boldsymbol{a}|+x}{\sqrt{|\boldsymbol{a}|^{2}+x|\boldsymbol{a}|+x^{2}}+|\boldsymbol{a}|}=\frac{|\boldsymbol{a}|}{|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{a}|}=\frac{|\boldsymbol{a}|}{2|\boldsymbol{a}|}=\frac{1}{2}$$。
公式：$$\lim_{x\to0}\frac{|\boldsymbol{a}|+x}{\sqrt{|\boldsymbol{a}|^{2}+x|\boldsymbol{a}|+x^{2}}+|\boldsymbol{a}|}=\frac{|\boldsymbol{a}|}{2|\boldsymbol{a}|}=\frac{1}{2}$$
提示：注意约去x后代入0时分子分母非零
步骤 6/6
目标：得出答案
因此，极限值为$\frac{1}{2}$，对应选项（B）。
提示：注意极限计算中向量的点积与模长关系

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