kaoyan1basic 高等数学 第23题

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📝 题目

【基础篇】第23题（选择题）
23．设 $\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1-x^{2 n}}{1+x^{2 n}} x$ ，且 $\int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=a$ ，则 $a$ 等于（ ）。 ）．
（A） 2
（B） 1
（C） 0
（D）-1

💡 答案解析

答案：C
解析：步骤1：计算极限。当$|x|<1$时，$x^{2n}\to 0$，$f(x)=x$；当$|x|>1$时，$x^{2n}\to\infty$，$f(x)=-x$；当$x=1$时，$f(1)=0$；当$x=-1$时，$f(-1)=0$。故$f(x)=\begin{cases} x, & 0\le x<1 \\ 0, & x=1 \\ -x, & 1步骤2：计算积分。$\displaystyle \int_0^2 f(x)dx = \int_0^1 x dx + \int_1^2 (-x) dx = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} = -1$。但选项无-1，检查原题：$\displaystyle f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{1-x^{2n}}{1+x^{2n}}x$，当$x=2$时，$f(2)=-2$，积分应为$\displaystyle \frac{1}{2} + (-\frac{3}{2}) = -1$，但选项为2,1,0,-1，故$a=-1$对应D。重新核对：$\displaystyle \int_0^1 x dx = \frac{1}{2}$，$\displaystyle \int_1^2 (-x) dx = -\frac{3}{2}$，和为-1。答案应为D。
难度：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/2
目标：计算极限函数 f(x) 的表达式
考虑极限 $\displaystyle f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{1-x^{2n}}{1+x^{2n}}x$。当 $|x|<1$ 时，$x^{2n}\to 0$，故 $f(x)=x$；当 $|x|>1$ 时，$x^{2n}\to\infty$，分子分母同除以 $x^{2n}$ 得 $f(x)=-x$；当 $x=1$ 时，$f(1)=0$；当 $x=-1$ 时，$f(-1)=0$。因此，在区间 $[0,2]$ 上，$f(x)=\begin{cases} x, & 0\le x<1 \\ 0, & x=1 \\ -x, & 1
公式：$$\lim_{n\to\infty}x^{2n}=\begin{cases}0,&|x|<1\\1,&x=\pm1\\\infty,&|x|>1\end{cases}$$
提示：注意分段点 $x=1$ 处函数值为0，但积分时单点不影响结果。
步骤 2/2
目标：计算定积分 $\int_0^2 f(x)dx$
将积分区间分段：$\int_0^2 f(x)dx = \int_0^1 x dx + \int_1^2 (-x) dx$。计算得 $\int_0^1 x dx = \frac{1}{2}$，$\int_1^2 (-x) dx = -\frac{3}{2}$，总和为 $-1$。
公式：$$\int_0^1 x dx = \frac{1}{2},\quad \int_1^2 (-x) dx = -\frac{3}{2}$$
提示：注意 $\int_1^2 (-x) dx$ 的计算：$[-\frac{x^2}{2}]_1^2 = -\frac{4}{2}+\frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$。

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