kaoyan1basic 高等数学 第26题
📝 题目
【强化篇】第26题（选择题）
26．反常积分 $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} \cos x \mathrm{~d} x()$ 。
（A）取值为正
（B）取值为负
（C）取值为 0
（D）发散
💡 答案解析
答案：A
解析：步骤1：计算反常积分。$\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{+\infty} e^{-x} \cos x dx = \lim_{b\to+\infty} \int_{-\frac{\pi}{2}}^b e^{-x} \cos x dx$。
步骤2：用分部积分或公式。$\displaystyle \int e^{-x}\cos x dx = \frac{e^{-x}(\sin x - \cos x)}{2} + C$。则$\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^b e^{-x}\cos x dx = \frac{e^{-b}(\sin b - \cos b)}{2} - \frac{e^{\pi/2}(\sin(-\pi/2) - \cos(-\pi/2))}{2} = \frac{e^{-b}(\sin b - \cos b)}{2} - \frac{e^{\pi/2}(-1 - 0)}{2} = \frac{e^{-b}(\sin b - \cos b)}{2} + \frac{e^{\pi/2}}{2}$。
步骤3：取极限$b\to+\infty$，$e^{-b}\to0$，$\sin b - \cos b$有界，故极限为$\displaystyle \frac{e^{\pi/2}}{2}>0$。故积分收敛且为正。
难度：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将反常积分转化为极限形式
将积分上限视为变量b，取极限b→+∞：∫_{-π/2}^{+∞} e^{-x} cos x dx = lim_{b→+∞} ∫_{-π/2}^{b} e^{-x} cos x dx
提示：注意反常积分的定义，积分上限为无穷大时需取极限。
步骤 2/4
目标：计算不定积分∫ e^{-x} cos x dx
使用分部积分法或公式：∫ e^{-x} cos x dx = (e^{-x}(sin x - cos x))/2 + C
公式：∫ e^{ax} cos(bx) dx = e^{ax}(a cos(bx) + b sin(bx))/(a^2+b^2) + C，此处a=-1, b=1
提示：可记忆常用积分公式，或通过两次分部积分推导。
步骤 3/4
目标：代入上下限计算定积分
代入上限b和下限-π/2：∫_{-π/2}^{b} e^{-x} cos x dx = [e^{-x}(sin x - cos x)/2]_{-π/2}^{b} = e^{-b}(sin b - cos b)/2 - e^{π/2}(sin(-π/2) - cos(-π/2))/2 = e^{-b}(sin b - cos b)/2 + e^{π/2}/2
提示：注意sin(-π/2) = -1, cos(-π/2) = 0，代入后化简。
步骤 4/4
目标：取极限并判断符号
令b→+∞，e^{-b}→0，而sin b - cos b有界，故第一项趋于0，极限值为e^{π/2}/2 > 0，因此积分收敛且为正。
提示：有界量乘以无穷小仍为无穷小。
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