kaoyan1basic 高等数学 第36题

答案：$\displaystyle \frac{2}{3}$
解析：
步骤1：$\displaystyle \sqrt{x^2+1}-x = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}$，平方得$\displaystyle \frac{1}{(\sqrt{x^2+1}+x)^2}$。
步骤2：积分$\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{(\sqrt{x^2+1}+x)^2}$，令$x=\tan\theta$，则$dx=\sec^2\theta d\theta$，$\sqrt{x^2+1}+x = \sec\theta+\tan\theta$，积分限$\displaystyle \theta:0\to\frac{\pi}{2}$。
步骤3：$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sec^2\theta}{(\sec\theta+\tan\theta)^2}d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{(1+\sin\theta)^2}d\theta$。
步骤4：令$\displaystyle u=\tan\frac{\theta}{2}$，则$\displaystyle \sin\theta=\frac{2u}{1+u^2}$，$\displaystyle d\theta=\frac{2}{1+u^2}du$，积分化为$\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{2}{(1+u)^2}du = \frac{2}{3}$。
难度：★★★☆☆