kaoyan1basic 高等数学 第3题

答案：（1）$\displaystyle f(x)=\begin{cases} x, & 0\le x\le \frac{\pi}{2} \\ \pi-x, & \frac{\pi}{2}解析：
步骤1：$f(x)=|\arcsin(\sin x)|$，在$[0,\pi/2]$上，$\sin x\in[0,1]$，$\arcsin(\sin x)=x$；在$[\pi/2,\pi]$上，$\sin x\in[0,1]$，$\arcsin(\sin x)=\pi-x$，故$f(x)=\begin{cases} x, & 0\le x\le \pi/2 \\ \pi-x, & \pi/2步骤2：$S(x)=\int_0^x f(t) dt$，当$x\to+\infty$时，$S(x)$为周期函数积分，周期为$\pi$，每个周期内积分$\displaystyle \int_0^\pi f(t) dt = \int_0^{\pi/2} t dt + \int_{\pi/2}^\pi (\pi-t) dt = \frac{\pi^2}{8}+\frac{\pi^2}{8}=\frac{\pi^2}{4}$，故$\displaystyle S(x)\sim \frac{\pi}{4}x$（$x$很大时），所以$\displaystyle \lim_{x\to+\infty} \frac{S(x)}{\sqrt{1+x^2}} = \frac{\pi}{4}$。但答案常为$\displaystyle \frac{2}{\pi}$，可能计算有误：$\displaystyle \int_0^{\pi/2} t dt = \frac{\pi^2}{8}$，$\displaystyle \int_{\pi/2}^\pi (\pi-t) dt = \frac{\pi^2}{8}$，和$\displaystyle \frac{\pi^2}{4}$，平均每单位长度积分$\displaystyle \frac{\pi}{4}$，故极限为$\displaystyle \frac{\pi}{4}$。若答案为$\displaystyle \frac{2}{\pi}$，则可能$f(x)$表达式不同。
难度：★★★☆☆