kaoyan1basic 高等数学 第10题
📝 题目
【基础篇】第10题（解答题）
10．设 $f^{\prime}(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $f(0)=0$ ，证明：
$\displaystyle \left|\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right| \leqslant \frac{M}{2},$
其中 $M=\max _{0 \leqslant \leqslant 1}\left|f^{\prime}(x)\right|$ ．
💡 答案解析
答案：见解析
解析：
步骤1：由 $f(0)=0$，得 $f(x)=\int_0^x f'(t)dt$。
步骤2：则 $\left|\int_0^1 f(x)dx\right| = \left|\int_0^1 \int_0^x f'(t)dt dx\right|$，交换积分次序得
$$\left|\int_0^1 f'(t) \int_t^1 dx dt\right| = \left|\int_0^1 f'(t)(1-t)dt\right| \le M\int_0^1 (1-t)dt = \frac{M}{2}.$$
难度：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将f(x)表示为f'(t)的积分
由f(0)=0，得f(x)=∫_0^x f'(t)dt。
公式：f(x)=∫_0^x f'(t)dt
提示：利用牛顿-莱布尼茨公式，由f(0)=0得到f(x)的积分表达式。
步骤 2/3
目标：将原积分转化为二重积分并交换次序
则|∫_0^1 f(x)dx| = |∫_0^1 ∫_0^x f'(t)dt dx|，交换积分次序得|∫_0^1 f'(t) ∫_t^1 dx dt| = |∫_0^1 f'(t)(1-t)dt|。
公式：∫_0^1 ∫_0^x f'(t)dt dx = ∫_0^1 f'(t)(1-t)dt
提示：交换积分次序时注意积分区域：0≤t≤x≤1，即t从0到1，x从t到1。
步骤 3/3
目标：利用最大值M放缩并计算积分
≤ M ∫_0^1 (1-t)dt = M/2。
公式：|∫_0^1 f'(t)(1-t)dt| ≤ M ∫_0^1 (1-t)dt = M/2
提示：利用绝对值不等式和M的定义，积分∫_0^1 (1-t)dt = 1/2。
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