kaoyan1basic 高等数学 第45题

答案：(1) $a=1, b=3$；(2) $z(x,y)=\sin(x+y)$
解析：
步骤1：由变换$u=x+ay$，$v=x+by$，计算偏导：$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=z_u+z_v$，$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=a z_u+b z_v$。
步骤2：二阶偏导：$\displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=z_{uu}+2z_{uv}+z_{vv}$，$\displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=a z_{uu}+(a+b)z_{uv}+b z_{vv}$，$\displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=a^2 z_{uu}+2ab z_{uv}+b^2 z_{vv}$。
步骤3：代入方程$3z_{xx}-4z_{xy}+z_{yy}=0$得：$(3-4a+a^2)z_{uu}+(6-4(a+b)+2ab)z_{uv}+(3-4b+b^2)z_{vv}=0$。
步骤4：令$z_{uv}$系数为零且$z_{uu},z_{vv}$系数为零，解得$a=1,b=3$（满足$a步骤5：解$\displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial u \partial v}=0$得$z=\varphi(u)+\psi(v)$，即$z=\varphi(x+y)+\psi(x+3y)$。
步骤6：由初始条件$z(x,0)=\sin x$得$\varphi(x)+\psi(x)=\sin x$；$z_y(x,0)=0$得$\varphi'(x)+3\psi'(x)=0$。
步骤7：对第二式积分得$\varphi(x)+3\psi(x)=C$，与第一式联立解得$\displaystyle \varphi(x)=\frac{3}{2}\sin x - \frac{C}{2}$，$\displaystyle \psi(x)=-\frac{1}{2}\sin x + \frac{C}{2}$。代入得$\displaystyle z(x,y)=\frac{3}{2}\sin(x+y)-\frac{1}{2}\sin(x+3y)$。
难度：★★★★★