kaoyan1basic 高等数学 第8题
📝 题目
【强化篇】第8题（填空题）
8．设
D=\left\{(x, y) \mid 4 x^{2}+y^{2}<1, x \geqslant 0, y \geqslant 0\right\},
则积分 $J=\iint_{D}\left(1-12 x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
答案：$\displaystyle \frac{\pi}{8}$
解析：
步骤1：区域$D$为椭圆$\displaystyle \frac{x^2}{1/4}+y^2<1$在第一象限部分，即$x\geq0,y\geq0$。
步骤2：作变量代换$u=2x$，$v=y$，则$D$变为$u^2+v^2<1$，$u\geq0,v\geq0$，雅可比行列式$\displaystyle |J|=\frac12$。
步骤3：积分化为
$$
J=\iint_{u^2+v^2\leq1,u,v\geq0} (1-3u^2-v^2)\cdot\frac12 du dv.
$$
步骤4：极坐标下$u=r\cos\theta$，$v=r\sin\theta$，$\displaystyle 0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$，$0\leq r\leq1$，得
$$
J=\frac12\int_0^{\pi/2}d\theta\int_0^1 (1-3r^2\cos^2\theta-r^2\sin^2\theta)r dr.
$$
步骤5：计算得$\displaystyle \frac12\int_0^{\pi/2}\left(\frac12-\frac{3\cos^2\theta+\sin^2\theta}{4}\right)d\theta=\frac12\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{8}$。
难度：★★★★☆